Контрольная работа № 1. Задача 1.
Точки Р и М – соответственно середины ребер АА1 и CС1 куба ABCDA1B1C1D1.
Постройте линию пересечения плоскостей РВ1М и AВС и определите, принадлежит ли точка D этой линии.
Задача 2.
Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью ВКТ (рис. 1) (все построения требуют обоснования).

Задача 3.
Точки К и Р – соответственно середины ребер А1D1 и AD куба ABCDA1B1C1D1.
Найдите углы между прямыми: а) C1D1 и KР; б) CD и В1К.
Задача 4.
Точки К, Р и М – соответственно середины ребер А1D1 и С1D1 и СС1 куба ABCDA1B1C1D1.
Постройте прямую, проходящую через точку М и пересекающую прямые АК и DР. Пересечет ли эта прямая отрезок DР?

Контрольная работа № 1.
Задача 1.
Точки Р и М – соответственно середины ребер АА1 и CС1 куба ABCDA1B1C1D1.
Постройте линию пересечения плоскостей РВ1М и AВС и определите, принадлежит ли точка D этой линии.
Задача 2.
Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью ВКТ (рис. 1) (все построения требуют обоснования).

Задача 3.
Точки К и Р – соответственно середины ребер А1D1 и AD куба ABCDA1B1C1D1.
Найдите углы между прямыми: а) C1D1 и KР; б) CD и В1К.
Задача 4.
Точки К, Р и М – соответственно середины ребер А1D1 и С1D1 и СС1 куба ABCDA1B1C1D1.
Постройте прямую, проходящую через точку М и пересекающую прямые АК и DР. Пересечет ли эта прямая отрезок DР?

Задача на построение циркулем и линейкой обычно подразумевает наличие циркуля и линейки без делений. Пусть ДАН отрезок АВ длиной 6 см.

Из точки начала данного отрезка А проводим прямую АС, образующую  угол с данным отрезком. На этой прямой циркулем откладываем 5  РАВНЫХ отрезков ЛЮБОИ длины. Конец q последнего (пятого) отрезка  соединяем с конgом B данного нам отрезка.

Затем через точку "h" последнего отрезка проводим прямую,  параллельную отрезку qВ.

Точка D пересечения этой прямой  с данным нам отрезком АВ и  есть точка деления отрезка в отношении 1:4, считая от точки В.

Если надо разделить отрезок в отношении 1:4, начиная от точки А, циркулем замеряем отрезок DB и откладываем его от точки А, получая на отрезке АВ точку Е.

Как ПОСТРОИТЬ прямую, параллельную данной? Один из для  нашего случая:

1. Проводим окружность 1 радиуса qh с центром в точке q (конец 5-го  отрезка) на прямой АС.

2. Проводим окружность 2 радиуса qh с центром в точке m (точка  пересечения окружность 2 с прямой qВ).

3. Проводим окружность 3 радиуса qh с центром в точке h на прямой  АС.

4. Через точке h и n (точка пересечения окружностей 2 и 3) проводим  прямую, которая и будет параллельна прямой qB, поскольку фигура hqmn  - ромб по построению, так как все стороны четырехугольника равны  радиусу qh.

Объяснение:

1)Так как AK является биссектрисой, угол BAK = угол KAD = 60/2 = 30°.

Сумма односторонних углов трапеции = 180°, следовательно, угол ABK = 180 - 60 = 120°

2) Рассмотрим треугольник ABK.

Нам известно, что угол BAK = 30°, угол ABK = 120°, а сумма углов треугольника = 180°, следовательно, угол BKA = 180 - угол ABK - угол BAK = 30°. Угол BAK = угол BKA, следовательно, треугольник BAK - равнобедренный.

3) Если BC = 16, то BK = AB = 8. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то AB = CD = 8, угол BAD = угол CDA.

4) Проведем высоты BH и CP.

Рассмотрим треугольники ABH и DCP

Углы ABH и DCP равны 30°, так как сумма углов треугольника равна 180°

Свойство 30° в прямоугольном треугольнике: если в прямоугольном треугольнике присутствует угол, равный 30°, то катет, который лежит напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Следовательно, AH = DP = 8/2 = 4.

5) Рассмотрим BHPC

Так как BC || AD (основания у трапеции параллельны), BH || CP(они оба перпендикулярны стороне AD, следовательно, параллельны друг другу), BHPC - прямоугольник, следовательно, BC = HP = 16.

Найдем AD: AD =AH + HP + PD = 4 + 16 + 4 = 24.

ответ: 24.