Контрольная работа № 5 « Окружность».
1. Дана окружность с центром в точке О . АВ – диаметр , точка С отмечена на
окружности , угол А равен 47 градусов. Найдите угол С и угол В .
2. АВ и АС – отрезки касательных , проведенных к окружности радиуса 6 см .
Найдите длину ОА иАС ,если АВ= 8 см.
3 . Найдите радиус окружности , вписанной в треугольник , и радиус
окружности , описанной около треугольника , стороны которого 16 см ,17 см ,
17 см .
1. Определение: "Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения".
Опустим на сторону ВС перпендикуляры АН и А1Н. Точка Н (основания перпендикуляров) общая, так как треугольник АВС правильный, а треугольник А1ВС - равнобедренный с основанием ВС. Угол между плоскостями АВС и А1ВС это угол А1НА, где АН⊥ВС и А1Н⊥ВС. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета АА1 к прилежащему АН. АА1 = А1С:2 = 4:2 = 2 (как катет, лежащий против угла 30°). АС=√(А1С²-АА1²). АС=√(16-4)=2√3. АН - это высота основания (правильного треугольника) АВС. АН = (√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника. АН = (√3/2)*2√3=3.
Tg(A1HA) = 2/3.
2. Площадь треугольника А1ВС равна S = (1/2)*BC*A1H. ВС=2√3 (сторона треугольника АВС найдена в п.1). А1Н=√(АН²+АА1²). А1Н=√(3²+2²)=√13.
Тогда S=(1/2)*2√3*√13 = √39 ед².
3. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС лежит против угла 30° (дано) и равен ВС:2 = 2:2=1. Катет АС=√3. АА1В1В - квадрат, так как призма прямая, а <B1AB=45° (дано). Значит ВВ1=АВ=2.
В треугольнике АА1С: катет АА1=ВВ1=2, АС=√3. Тогда по Пифагору А1С=√(4+3)=√7. Треугольник А1СВ прямоугольный, так как А1С перпендикулярна ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Площадь треугольника А1СВ равна S=(1/2)*A1C*BC = √7/2 ед².
4. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно, треугольник АВD равносторонний и BD=6см. АО=3√3см (высота правильного треугольника). АС=2*АО = 6√3см. Треугольник BB1D прямоугольный равнобедренный, так как призма прямая, а <DBD1 = 45° (дано). DD1=BD=6см. АА1=DD1 (боковые ребра призмы). Тогда из прямоугольного треугольника АА1С найдем А1С по Пифагору: А1С=√(АС²+АА1²) или
А1С=√(108+36) = 12 см.
1) Дан треугольник ABC
BO = 8
x*5/6 - боковая сторона
x - основание
Из треугольника ABO найдем по теореме Пифагора стороны: (x/2)^2 + 8^2 = (x5/6)^2
x^2 /4 + 64 -x^2*25/36 = 0
x^2 (1/4 -25/36) = -64
x^2 (9/36 -25/36) = -64
x^2(-16/36) = -64
x^2 = 36*4
x = 12
S = AC * BO /2= 12 * 8 /2= 96/2 = 48
2) Дан ромб ABCD. AB1 - высота ромба, AB1 = 5, S_ABCD = 50
Найдем из площади сторону ромба: S_ABCD = AB1* AB
50 = 5 * AB
AB = 10
Теперь из другой формулы площади, найдём угол: S_ABCD = AB^2 * sin(y)
50 = 100 * sin(y)
1/2 = sin(y)
y = pi/6 + 2pi*n
y = 5pi/6 + 2pi*n
y = 30 или y = 150
Тогда x = 150 или 30
Углы ромба 30 и 150 градусов