Контрольная работа № 5 Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников. Вариант 1 1. В треугольнике АВС <С = 90°, АВ = 13 см, АС = 5 см. Найдите: 1) sinB; 2) tgA. 2.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника АВС (<С=90°) если ВС = 6 см, cosB = 37. 3.Найдите значение выражения sin²37° + cos²37° - sin²45°. 4. В равнобокой трапеции АВСD AB = CD = 6 см, ВС = 8 см, AD=12 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции. 5. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если АВ = 2√3 см, ВС = 7 см, <А = 60°. 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
2) Для нахождения tgA воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: tgA = противолежащий катет / прилежащий катет. В данном треугольнике АС является прилежащим катетом угла А, а БС - противолежащим. Значит, tgA = БС / АС. Подставляем известные значения и вычисляем: tgA = 5 / 13.
3) Задача сводится к вычислению выражения, содержащего различные тригонометрические функции острых углов. Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами: sin²α + cos²α = 1 и sin²α + cos²α = 1. Подставляем известные углы и вычисляем: sin²37° + cos²37° - sin²45° = 1 - 1/2 - 1/2 = 0.
4) Для начала находим угол А трапеции АВСD. Так как АВ = CD, то треугольники АВС и СDA равнобедренные. Значит, угол АВС равен углу СДА, то есть углу А. Значит, uА = uСДА. Также заметим, что треугольники АВС и СDA подобны, так как имеют пары равных углов. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках будет одинаковое. Найдем это соотношение:
АВ / СА = CD / СD
13 / 5 = 6 / (8 - ДC)
65 = 30 - 3ДС
3ДC = 30 - 65
3ДС = -35
ДС = -35 / 3
Так как отрезок не может быть отрицательным, то отбрасываем значение -35 / 3 и считаем, что отрезок СD = 35 / 3.
Теперь найдем синус угла А трапеции. Воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: sinA = противолежащий катет / гипотенуза. Так как АВС является прямоугольным треугольником, то СD является противолежащим катетом угла А, а АС - гипотенузой. Значит, sinA = СD / АС. Подставляем известные значения и вычисляем: sinA = 35 / 3 / 13 = 35 / 39.
Тангенс угла А трапеции можно найти из соотношения tgA = sinA / cosA, где cosA = AD / AC. Подставляем известные значения и вычисляем: tgA = (35 / 39) / (12 / 13) = (35 / 39) * (13 / 12) = 455 / 468.
Косинус угла А трапеции можно найти из соотношения cosA = прилежащий катет / гипотенуза. Так как АВС является прямоугольным треугольником, то AD является прилежащим катетом угла А, а АС - гипотенузой. Значит, cosA = AD / АС. Подставляем известные значения и вычисляем: cosA = 12 / 13.
Котангенс угла А трапеции можно найти из соотношения ctgA = 1 / tgA. Подставляем ранее вычисленное значение и получаем: ctgA = 1 / (455 / 468) = 468 / 455.
5) Для решения задачи построим высоту, проходящую через вершину В и перпендикулярную стороне СД треугольника АВС. Обозначим точку пересечения высоты с стороной СД как Е. Тогда треугольник СЕВ будет прямоугольным, так как СЕ - высота, VE - прилежащий катет, и ВС - гипотенуза. Из данного прямоугольного треугольника можно найти отрезок СЕ, используя теорему Пифагора: ВС² = VЕ² + СЕ². Подставляем известные значения и вычисляем: (2√3)² = VЕ² + СЕ², 12 = VЕ² + СЕ².
Теперь рассмотрим треугольник АДС. Ранее мы нашли отрезок СЕ, который является отрезком АС, деленным высотой. Значит, отрезок АД = СD - СЕ. Подставляем известные значения и получаем: 12 = (35 / 3) - СЕ.
Теперь мы можем решить систему уравнений:
СЕ² + VЕ² = 12
(35 / 3) - СЕ = 12
Из второго уравнения находим СЕ: СЕ = (35 / 3) - 12 = (35 / 3) - (36 / 3) = -1 / 3.
Так как СЕ не может быть отрицательным, то отбрасываем значение -1 / 3 и считаем, что отрезок СЕ = 1 / 3.
Теперь подставляем найденные значения в первое уравнение: (1 / 3)² + VЕ² = 12. Упрощаем: 1 / 9 + VЕ² = 12. Вычитаем 1 / 9 из обеих частей уравнения: VЕ² = 12 - 1 / 9. Упрощаем: VЕ² = 107 / 9. Извлекаем корень из обеих частей уравнения: VЕ = √(107 / 9) = √(107) / √(9) = √(107) / 3.
Таким образом, отрезок СД = АС - СЕ = 7 - 1 / 3 = 20 / 3.
6) Для решения этой задачи воспользуемся свойством описанной окружности равнобокой трапеции. По свойству окружности, диагональ перпендикулярна к боковой стороне треугольника. Значит, высота трапеции является радиусом окружности, описанной около трапеции. Обозначим высоту как h. Тогда мы можем записать следующее соотношение:
h² + (BC / 2)² = R²
Здесь R - радиус окружности. Значит, отрезок BC равен длине основания трапеции. Запишем его в виде:
BC = AD + CD = 12 + 6 = 18
Итак, у нас есть уравнение:
h² + (18 / 2)² = R²
h² + 9² = R²
h² + 81 = R²
Решим уравнение относительно высоты:
h² = R² - 81
h = √(R² - 81)
Таким образом, высоту трапеции можно выразить как √(R² - 81).