Контрольная работа №7 по теме " Координаты и векторы"
1.Даны точки A(5; 2;0) и B(-4; 3; 0). Найдите а) координаты вектора ⃗, б) длину вектора ⃗.
2.Найдите координаты точки M - середины отрезка AB, если
A(-5; 1; 10) и B(-5; 16; -14)
3.Вычислите угол между прямыми AB и CD, если A(1; 1; 0),
B( 3; -1; 0), C(4; -1; 2), D(0; 1; 0).
4. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку
M0(5; 6; 9) и перпендикулярной вектору ⃗{4;1;-3}
5. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный, если координаты его вершин таковы: A(3; 1; 2), B(1; 2; -1), C( -2; 2; 1)
6. Определите взаимное расположение плоскостей: x - 3y + z + 4 = 0 и
3x + 2y + 3z - 3 =0
Объяснение:
1
a)М-середина
х=(5-3)/2=1 y=(-2+4)/2=1 z=(1+7)/2=4
M(1;1;4)
b)5=(x-3)/2⇒x-3=10⇒x=13
-2=(y+4)/2⇒y+4=-4⇒y=-8
1=(z+7)/2⇒z+7=2⇒z=-5
C(13;-8;-5)
2
a+b={1;-4;1}
|a+b|=√1+16+1=√18=3√2
|a|+|b|=√4+36+9+√1+4+4=√49+√9=7+3=10
3
AB=√(1-2)²+(-5-1)²+(0+8)²=√1+36+64=√101
BC=√(8-1)²+(1+5)²+(-4-0)²=√49+36+16=√101
AC=√(8-2)²+(1-1)²+(-4+8)²=√36+0+16=√52=2√13
AB=BC- треугольник равнобедренный
Средняя линия равна 1/2АС=1/2*2√13=√13
Пусть N(x;y;z)- произвольная точка плоскости.
Тогда векторы NM и n - ортогональны.
Условием ортогональности является равенство нулю их скалярного произведения.
Находим координаты векторов.
NM (2-x;3-y;5-z)
n(4;3;2)
Находим их скалярное произведение - это сумма произведений одноименных координат
4(2-х)+3(3-у)+2(5-z)
и приравниваем к нулю
4(2-х)+3(3-у)+2(5-z) =0
или
8-4х+9-3у+10-2z=0
4x+3y+2z-27=0
ответ. 4х+3у+2z-27=0
Подробнее - на -
1.
а) Чтобы найти координаты вектора AB, нужно вычислить разность между соответствующими координатами точек A и B. Запишем это как вектор AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). В данном случае x1 = 5, y1 = 2, z1 = 0 и x2 = -4, y2 = 3, z2 = 0. Вычислим:
AB = (-4 - 5, 3 - 2, 0 - 0) = (-9, 1, 0)
б) Длина вектора AB вычисляется с использованием теоремы Пифагора. Длина вектора AB равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. Используем формулу: |AB| = √(x^2 + y^2 + z^2), где x, y, z - координаты вектора AB. В нашем случае это |AB| = √((-9)^2 + 1^2 + 0^2) = √(81 + 1) = √82.
2.
Для нахождения координат точки M, которая является серединой отрезка AB, нужно взять среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Запишем это как M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2). В нашем случае x1 = -5, y1 = 1, z1 = 10 и x2 = -5, y2 = 16, z2 = -14. Вычислим:
M = ((-5 + (-5)) / 2, (1 + 16) / 2, (10 + (-14)) / 2) = ((-10) / 2, 17 / 2, (-4) / 2) = (-5, 8.5, -2).
3.
Для вычисления угла между прямыми AB и CD можно использовать формулу, в которой используются скалярное произведение векторов. Угол между двумя векторами определяется как arccos((A * B) / (|A| * |B|)), где A и B - векторы, * - скалярное произведение, |A| и |B| - длины этих векторов. Сначала найдем векторы AB и CD, а затем подставим их в формулу. Вектор AB мы уже нашли в первой задаче, он равен (-9, 1, 0). Найдем вектор CD: CD = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). В данном случае x1 = 1, y1 = 1, z1 = 0 и x2 = 4, y2 = -1, z2 = 2. Вычислим:
CD = (4 - 1, -1 - 1, 2 - 0) = (3, -2, 2)
Теперь вычислим угол:
cos(θ) = ((-9 * 3) + (1 * -2) + (0 * 2)) / (√(82) * √(3^2 + (-2)^2 + 2^2))
cos(θ) = (-27 - 2 + 0) / (√82 * √ 17)
cos(θ) = (-29) / (√82 * √ 17)
θ = arccos(-29 / (√82 * √ 17))
4.
Мы знаем, что уравнение плоскости имеет форму Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D - константа. Так как плоскость должна проходить через точку M0(5, 6, 9), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. А также нам известно, что плоскость перпендикулярна вектору {4, 1, -3}, это значит, что вектор {4, 1, -3} является нормалью к плоскости. Подставим координаты точки M0 и вектор в уравнение и решим систему уравнений:
5 * A + 6 * B + 9 * C + D = 0
4 * A + B + (-3) * C = 0
Подставим значение вектора отдельно в каждое уравнение:
5 * A + 6 * B + 9 * C + D = 0 (1)
4 * A + B + (-3) * C = 0 (2)
Исходя из условия, вектор {4, 1, -3} является нормалью к плоскости, следовательно, у него есть такие свойства:
4 * A + 1 * B + (-3) * C = 0 (3)
Мы можем решить систему из трех уравнений (1), (2), (3) относительно неизвестных A, B, C и D. Решив эту систему, мы найдем уравнение плоскости, проходящей через точку M0(5, 6, 9) и перпендикулярной вектору {4, 1, -3}.
5.
Для доказательства, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать свойство скалярного произведения двух векторов. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, а значит, угол между ними равен 90 градусам. Возьмем два вектора AB и AC, и найдем их скалярное произведение. Если оно равно нулю, то треугольник ABC будет прямоугольным.
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (1 - 3, 2 - 1, -1 - 2) = (-2, 1, -3)
AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) = (-2 - 3, 2 - 1, 1 - 2) = (-5, 1, -1)
Вычислим скалярное произведение AB и AC:
AB · AC = (-2 * -5) + (1 * 1) + (-3 * -1) = (10 + 1 + 3) = 14
Так как скалярное произведение AB и AC не равно нулю (14 ≠ 0), то треугольник ABC не является прямоугольным.
6.
Чтобы определить взаимное расположение плоскостей, нужно рассмотреть коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях плоскостей и сравнить их между собой. Если коэффициенты пропорциональны, то плоскости параллельны. Если коэффициенты некоторых переменных одной плоскости делятся на коэффициенты тех же переменных другой плоскости, а коэффициенты других переменных равны между собой, то плоскости пересекаются. Если же коэффициенты некоторых переменных одной плоскости делятся на коэффициенты тех же переменных другой плоскости, а коэффициенты других переменных пропорциональны, то плоскости параллельны и равны.
У плоскости x - 3y + z + 4 = 0 коэффициенты при переменных равны 1, -3 и 1 соответственно.
У плоскости 3x + 2y + 3z - 3 = 0 коэффициенты при переменных равны 3, 2 и 3 соответственно.
Мы видим, что коэффициенты некоторых переменных одной плоскости (x - 3y + z + 4 = 0) делятся на коэффициенты тех же переменных другой плоскости (3x + 2y + 3z - 3 = 0), а коэффициенты других переменных равны между собой (коэффициент перед z равен 1). Поэтому плоскости пересекаются.