Контрольная работа No4 Вариант 2
1. Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC,
равный 18 см. Найдите AB и cos А.
2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 3 см и составляет со стороной AD угол 37°. Найдите площадь
прямоугольника ABCD.
Дано: AB – гипотенуза, BD – высота, DC – отрезок отсеченный высотой BD.
Из условия задачи известно, что BD = 24 см и DC = 18 см.
Мы знаем, что прямоугольный треугольник ABC имеет прямой угол при вершине C. Тогда, высота BD, проведенная из вершины B на гипотенузу AC, разделяет треугольник на два подобных.
с = 24 см (BD)
b = 18 см (DC)
Решение задачи:
1. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AB² = AC² - BC²
2. Найдем значение гипотенузы AC:
AC = BC + DC (по теореме Пифагора)
3. Подставим значение DC в формулу для AC:
AC = BC + 18
4. Используем информацию о треугольниках, подобных треугольнику ABC:
BC / AB = DC / BD
5. Подставим значения в формулу и решим ее относительно AB:
BC / AB = 18 / 24
6. Получаем:
BC / AB = 3 / 4
7. Перемножаем значения по диагонали и сравниваем соответствующие члены:
3 * AB = 4 * BC
8. Получаем систему уравнений:
AB² = (BC + 18)² - BC²
3 * AB = 4 * BC
9. Решаем систему уравнений методом подстановки или замещения:
3 * AB = 4 * (AB - 18) + 18
10. Решаем получившееся уравнение:
3 * AB = 4 * AB - 72 + 18
3 * AB = 4 * AB - 54
AB = 54 см
11. Ответ:
AB = 54 см
Далее найдем cos A.
AB/AC = cos A
AB = 54 см
AC = BC + DC = BC + 18 см
12. Подставим значения в формулу:
AB/AC = cos A
54/(BC + 18) = cos A
13. Заменим BC на значение из формулы AB² = AC² - BC²:
54/((AB - 18) + 18) = cos A
14. Упрощаем выражение и находим cos A:
54/AB = cos A
54/54 = cos A
1 = cos A
15. Ответ:
cos A = 1
2. Решение задачи:
Дано: АС – диагональ, AD – сторона, угол между ними 37°
1. Рисуем прямоугольник ABCD и отмечаем стороны: AB, BC, CD, DA.
- AB – сторона параллельная с AD.
- BC – сторона параллельная с AD.
- CD – сторона параллельная с AB.
- DA – сторона параллельная с AB.
- AC – диагональ.
2. Известно, что диагональ AC = 3 см и образует угол 37° со стороной AD.
3. Найдем длину стороны AD.
Используем тригонометрические соотношения:
cos(37°) = AD / AC
4. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно AD:
cos(37°) = AD / 3
5. Найдем значение AD:
AD = 3 * cos(37°)
6. Вычислим AD с использованием калькулятора:
AD ≈ 3 * 0,7986 ≈ 2,396 см
7. Найдем площадь прямоугольника ABCD:
Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон:
Площадь ABCD = AB * AD
8. Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь прямоугольника:
Площадь ABCD = AB * AD
Площадь ABCD = 2,396 * AB см²
9. Ответ:
Площадь прямоугольника ABCD равна 2,396 * AB см².