Контрольная работа по теме «Перпендикулярность в Вариант 2
1. Длина стороны ромба АВСД равна 7 см, длина диагонали ВД= 10 см. Через
точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК,
перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки К до вершин
ромба, если ОК= 4 см.
2. Из вершины С прямоугольного треугольника АВС с углом С, равным 90, катеты
которого равны по 16 см, проведена прямая СР, перпендикулярная его
плоскости. СР = 4 см. Найдите расстояние от точки Р до стороны АВ.
3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ
параллелепипеда равна 62 см, а его измерения относятся как 1:1: 2 Найдите:
а) измерения параллелепипеда; б) площадь поверхности параллелепипеда;
б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
4.Из одной точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины
наклонных, если одна из них на 2,6 см больше другой, а проекции наклонных равны
1,2 см и 4 см.
Указание: в задаче 2 используйте теорему о трех перпеникулярах.
Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны. АВ=ВС=АС=2√3Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Медиана ВН (она же биссектриса, она же высота) делит треугольник АВС на два треугольника. B AHC Рассмотрим треугольник АВН: Т. к ВН-биссектриса, то угол АВН=30° (т. к в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).Треугольник АВН - прямоугольный (т. к ВН еще и высота). По св-ву прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 30°:АВ - гипотенуза треугольника АВН. АН - катет, лежащий против угла в 30°.Значит, АН=1/2*АВАН=1/2*2√3АН=√3Теперь, по теореме Пифагора найдем сторону ВН. АВ2=ВН2+АН2(2√3)2=х2+(√3)2(√12)2=х2+312=х2+3 ==> х2=9 х=3ВН=3 см. ответ: ВН=3 см
Т.к. она является и биссектрисой, то угол поделится пополам, т.е. будет равен = 30. Дальше воспользуемся тригонометрией, а именно косинусом (напомню, косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе):
cos 30=√3/2
√3/2=9√3/x
√3х=18√3
х=18 (см) - сторона треугольника.
Если есть желание, можешь расковырять через теорему Пифагора, обозначив второй катет за х, а гипотенузу за 2х. ответ получится абсолютно тот же.