Координаты потолков треугольника авс а (3; 4), в(5; 8), с(9; 6). для треугольника авс: а) определите тип треугольника авс; b) если известно, что вк медиана, найдите координаты точки к; c) найдите площадь треугольника авс.максимально 85
1.1)Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º 2)Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. 3)Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º. 2.свойство: у смежных углов сумма равна 180градусов определение: 2 угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол, называются смежными углами.
определение: 2 угла, называются вертикальными, если стороны одного угла образуют со сторонами другого угла развернутые углы. свойство: вертикальные углы равны 3.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).
Доказать: CD — биссектриса и высота.
Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).
Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:
Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:
1). Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2). Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 4.Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.При пересечении 2 параллельных прямых третьей обязательно пересекает обе прямые.При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:Накрест лежащие углы равны.Соответственные углы равны.Односторонние углы в сумме составляют 180°. 5.Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Параллельные прямые не пересекаются. 6.Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника. Свойства медиан треугольникаМедиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.7.Теорема:Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.1Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB < AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления).В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD. В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD > AB, или BC + CD > AB. Но CD = AC, значит, AC + BC > AB.выводAB < AC + BC;AC < AB + BC;BC < AB + AC.8.Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольниканазывается отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.Свойства биссектрис треугольникаБиссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник. 9.-10.Биссектриса равнобедренного треугольника проведённая к основанию является и высотой и медианой
Центр О1 описанной окружности треугольника АВС лежит на пересечении срединного перпендикуляра катета ВA и гипотенузы АС, т.е. центры обеих окружностей лежат на средней линии трапеции и ОО1=2 см. Пусть радиус описанной окружности треугольника АВС будет R, точка касания вписанной окружности на ВC-Н, на АВ-К. радиус вписанной в трапецию окружности r. r=KO+OO1 КО- средняя линия треугольника АВС КО= ВС:2=12:2=6 см r=6+2=8 см ВМ=высота и медиана равнобедренного прямоугольника ВО1С В прямоугольном треугольнике ВМО1 катет МО1=НО=r=8 см катет ВМ=6 см, отношение катетов 3:4,⇒ ВО1=10 как гипотенуза египетского треугольника ( можно проверить т. Пифагора) АС=2R=2*10=20 см
2)Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.
3)Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
2.свойство: у смежных углов сумма равна 180градусов
определение: 2 угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол, называются смежными углами.
определение: 2 угла, называются вертикальными, если стороны одного угла образуют со сторонами другого угла развернутые углы.
свойство: вертикальные углы равны
3.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).
Доказать: CD — биссектриса и высота.
Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).
Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:
Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:
1). Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2). Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4.Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.При пересечении 2 параллельных прямых третьей обязательно пересекает обе прямые.При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:Накрест лежащие углы равны.Соответственные углы равны.Односторонние углы в сумме составляют 180°.
5.Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Параллельные прямые не пересекаются.
6.Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольникаМедиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.7.Теорема:Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.1Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB < AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления).В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD. В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD > AB, или BC + CD > AB. Но CD = AC, значит, AC + BC > AB.выводAB < AC + BC;AC < AB + BC;BC < AB + AC.8.Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольниканазывается отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.Свойства биссектрис треугольникаБиссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
9.-10.Биссектриса равнобедренного треугольника проведённая к основанию является и высотой и медианой
Пусть радиус описанной окружности треугольника АВС будет R, точка касания вписанной окружности
на ВC-Н,
на АВ-К.
радиус вписанной в трапецию окружности r.
r=KO+OO1
КО- средняя линия треугольника АВС
КО= ВС:2=12:2=6 см
r=6+2=8 см
ВМ=высота и медиана равнобедренного прямоугольника ВО1С
В прямоугольном треугольнике ВМО1 катет
МО1=НО=r=8 см
катет ВМ=6 см, отношение катетов 3:4,⇒
ВО1=10 как гипотенуза египетского треугольника ( можно проверить т. Пифагора)
АС=2R=2*10=20 см