асательная прямая t к окружности c пересекает окружность в единственной точке t. для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. это свойство касательной прямой сохраняется при многих преобразованиях[en], таких как подобие, вращение, параллельный перенос, инверсия и картографическая проекция. говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.
радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. и обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. окружность вместе с касательной прямой имеют осевую симметрию относительно радиуса (к точке касания).
по теореме о степени точкипроизведение длин pm•pn для любого луча pmn равно квадрату pt, длине отрезка от точки p до точки касания (отрезок показан красным цветом).
никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. в то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку p с центром окружности o (см. рисунок справа). в этом случае отрезки от точки p до двух точек касания имеют одинаковую длину. по теореме о степени точки квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки p относительно окружности c. эта степень равна произведению расстояний от точки p до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через p.
угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между концами хорды.
касательная прямая t и точка касания t свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о полюсе и поляре. такая же взаимосвязь существует между точкой p вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.
если точка p лежит вне окружности с центром o, и если касательные прямые из p касаются окружности в точках t и s, то углы ∠tps и ∠tos в сумме 180°.
если хорда tm проведена из точки касания t прямой p t и ∠ptm ≤ 90°, то ∠ptm = (1/2)∠mot.
Жили да были два треугольника. Один - равносторонний, у которого все стороны были одинаковой длины, сам он был весь правильный, симметричный, его очень часто школьники использовали, чтобы изучать доказательства теорем и решать геометрические задачи, другой - с разными сторонами, весь "кривенький", неправильный, некрасивый, неровный, вышагивал он, прихрамывая и получая насмешки от другого теругольника. Надо упомянуть, что, несмотря на все это, площадь обоих треугольников высчитывать по одной формуле: по формуле Герона (кроме того, для каждого из них, индивидуально: для равностороннего - по формуле S = (a² * √3)/4, где a – сторона треугольника, для произвольного - S = c²/(2 * (ctg∠α * ctg∠β)) или S = (c² * sin∠α * sin∠β)/2 * sin(∠α + ∠β)). Несмотря на общее - то, что они оба были треугольниками - и различия в их мировоззрениях и формах, оба они обладали совершенно разными характерами. Первый был самоуверенным, себялюбивым и гордым. Другой знал себе цену, не слишком много о себе задумываясь, в то же время, его харатер более покладистый и уравновешенный, - по-видимому, компенсация за непропорциональную внешность. У первого треуголника, пусть его зовут Найс - была очень легкая жизнь. Он мало рассуждал о ней, жил, ни о чем не заботясь. Другой - Гуд - был очень вдумчивым, часто размышлял о смысле существования и старался улучшить ее. Эти двое не слишком ладили, но и не вздорили. У каждого был свой круг друзей - Найс дружил с правильными фигурами, - кубом, октаэдром, додекаэдром, пентагондодекаэдром.. . Гуд уживался со всеми фиграми советом, пользой всем тем, чем мог. Он был дорб по натуре. Оба треугольника жили в тетрадке у девочки, которая училась в пятом классе и любила геометрию. Она часто рисовала оба треугольника, когда решала задачи. А еще она их рисовала на классной доске. Можно было бы сказать о том, что оба они прожили довольно длинную (до конца 36-листовой тетрадки) нормальную жизнь любого треугольника, вот только один из треугольников рисовался чаще другого, впрочем особого значения этот факт не имеет. Оба треугольника недолюбливали ластик - он мог их стереть начисто, что случалось не так часто. У треугольников была ровная, спокойная жизнь. Она бал окрашена разными цветами красок - в том случае, если эти фигуры попадали в поле деятельности девочки на уроках рисования. Но это уже другая история.. . Там треугольники сливались с окружающими фигурами и теряли свои формы, переставая быть треуголниками. У каждого из них были, конечно, свои привычки, любимые цвета, любое время дня и вечера
асательная прямая t к окружности c пересекает окружность в единственной точке t. для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. это свойство касательной прямой сохраняется при многих преобразованиях[en], таких как подобие, вращение, параллельный перенос, инверсия и картографическая проекция. говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.
радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. и обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. окружность вместе с касательной прямой имеют осевую симметрию относительно радиуса (к точке касания).
по теореме о степени точкипроизведение длин pm•pn для любого луча pmn равно квадрату pt, длине отрезка от точки p до точки касания (отрезок показан красным цветом).никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. в то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку p с центром окружности o (см. рисунок справа). в этом случае отрезки от точки p до двух точек касания имеют одинаковую длину. по теореме о степени точки квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки p относительно окружности c. эта степень равна произведению расстояний от точки p до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через p.
угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между концами хорды.касательная прямая t и точка касания t свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о полюсе и поляре. такая же взаимосвязь существует между точкой p вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.
если точка p лежит вне окружности с центром o, и если касательные прямые из p касаются окружности в точках t и s, то углы ∠tps и ∠tos в сумме 180°.
если хорда tm проведена из точки касания t прямой p t и ∠ptm ≤ 90°, то ∠ptm = (1/2)∠mot.
Несмотря на общее - то, что они оба были треугольниками - и различия в их мировоззрениях и формах, оба они обладали совершенно разными характерами. Первый был самоуверенным, себялюбивым и гордым. Другой знал себе цену, не слишком много о себе задумываясь, в то же время, его харатер более покладистый и уравновешенный, - по-видимому, компенсация за непропорциональную внешность.
У первого треуголника, пусть его зовут Найс - была очень легкая жизнь. Он мало рассуждал о ней, жил, ни о чем не заботясь. Другой - Гуд - был очень вдумчивым, часто размышлял о смысле существования и старался улучшить ее. Эти двое не слишком ладили, но и не вздорили. У каждого был свой круг друзей - Найс дружил с правильными фигурами, - кубом, октаэдром, додекаэдром, пентагондодекаэдром.. . Гуд уживался со всеми фиграми советом, пользой всем тем, чем мог. Он был дорб по натуре.
Оба треугольника жили в тетрадке у девочки, которая училась в пятом классе и любила геометрию. Она часто рисовала оба треугольника, когда решала задачи. А еще она их рисовала на классной доске.
Можно было бы сказать о том, что оба они прожили довольно длинную (до конца 36-листовой тетрадки) нормальную жизнь любого треугольника, вот только один из треугольников рисовался чаще другого, впрочем особого значения этот факт не имеет. Оба треугольника недолюбливали ластик - он мог их стереть начисто, что случалось не так часто. У треугольников была ровная, спокойная жизнь. Она бал окрашена разными цветами красок - в том случае, если эти фигуры попадали в поле деятельности девочки на уроках рисования. Но это уже другая история.. . Там треугольники сливались с окружающими фигурами и теряли свои формы, переставая быть треуголниками. У каждого из них были, конечно, свои привычки, любимые цвета, любое время дня и вечера