В треугольнике ABC с угла B Проведена прямая BD. Найдите отношение P(∆BDC)/P(∆ABC), если ∠ABC=∠BDC, AB=8, AC=12, DC=3. Надо найти сторону BD и периметры ∆ ABC и ∆ BDC .
ответ: 1 : 2 , 4 , 26 , 13 .
Объяснение:
ΔCDB ~ ΔCBA ( по первому признаку подобия) и почти конец
Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью , проходящей через вершину конуса . Площадь сечения равна 25√3. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Сделаем рисунок. Так как сечение АВС ограниченго двумя образующими, оно является равнобедренным треугольником с высотой и медианой ВМ.
АВ=10, это и без вычисления можно сказать - треугольник "египетский" с отношением сторон 3:4:5 Катеты 6 и 8, отсюда гипотенуза АВ=10 Можно сторону АВ найти по т. Пифагора, результат будет тем же.
Рассмотрим треугольник АВМ. Он прямоугольный с прямым углом ВМА, и его площадь равна половине площади сечения АВС. S АВМ=(25√3):2 Из М проведем к образующей ВА высоту МК. МК=2·S Δ АВМ:АВ МК=(25√3):10=2,5√3
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
МК²=ВК·АК Пусть ВК=х, тогда АК=10-х Составим уравнение: (2,5√3)²=х·(10-х) 18,75=10х-х²
х²-10х+18,75=0 Найдем корни этого уравнения D=b²-4ac= -10²-4·1·18,75=25 Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня х₁=7,5 х₂=2,5 Так как ВК больший отрезок, его длина равна 7,5 Длина второго отрезка не пригодится. (Можно с его найти АМ, затем НМ и косинус искомого угла, но вряд ли стоит, это дольше будет) ВМ - гипотенуза треугольника ВМН, угол ВМН которого нам нужно найти. ВМ²=МК²+ВК² ВМ²=2,5√3²+7,5² ВМ²=18,75+ 56,25=75 ВМ=5√3
sin ∠ВМН=8:5√3 sin ∠ВМН = 0,9238 По таблице определяем, что 67°< ∠ВМН <68°, т.е приблизительно 67°29' ( точнее можно найти в более подробных таблицах)
В треугольнике ABC с угла B Проведена прямая BD. Найдите отношение P(∆BDC)/P(∆ABC), если ∠ABC=∠BDC, AB=8, AC=12, DC=3. Надо найти сторону BD и периметры ∆ ABC и ∆ BDC .
ответ: 1 : 2 , 4 , 26 , 13 .
Объяснение:
ΔCDB ~ ΔCBA ( по первому признаку подобия) и почти конец
∠BDC= ∠ABC ← условие
∠C _общий угол
BC/AC =DC/BC = BD / AB =P(∆BDC)/P(∆ABC)
BC² =AC *DC=12*3 =36 ⇒ BC=6 ; P(∆BDC)/P(∆ABC) =BC/AC=6/12 =1: 2
BC/AC = BD / AB ⇒ BD =(BC/AC)*ABС =(6/12)*8 = 4 ;
P(∆ ABC) =AB++AC+BC =8+12+6 =26 ;
P(∆BDC) = (1/2)*P(∆ABC) =(1/2)*26 =13 или 3+4+6 =13 .
Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8.
В конусе проведено сечение плоскостью , проходящей через вершину конуса . Площадь сечения равна 25√3.
Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Сделаем рисунок.
Так как сечение АВС ограниченго двумя образующими, оно является равнобедренным треугольником с высотой и медианой ВМ.
АВ=10, это и без вычисления можно сказать - треугольник "египетский" с отношением сторон 3:4:5
Катеты 6 и 8, отсюда гипотенуза АВ=10
Можно сторону АВ найти по т. Пифагора, результат будет тем же.
Рассмотрим треугольник АВМ.
Он прямоугольный с прямым углом ВМА, и
его площадь равна половине площади сечения АВС.
S АВМ=(25√3):2
Из М проведем к образующей ВА высоту МК.
МК=2·S Δ АВМ:АВ
МК=(25√3):10=2,5√3
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
МК²=ВК·АК
Пусть ВК=х, тогда АК=10-х
Составим уравнение:
(2,5√3)²=х·(10-х)
18,75=10х-х²
х²-10х+18,75=0
Найдем корни этого уравнения
D=b²-4ac= -10²-4·1·18,75=25
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня
х₁=7,5
х₂=2,5
Так как ВК больший отрезок, его длина равна 7,5
Длина второго отрезка не пригодится. (Можно с его найти АМ, затем НМ и косинус искомого угла, но вряд ли стоит, это дольше будет)
ВМ - гипотенуза треугольника ВМН, угол ВМН которого нам нужно найти.
ВМ²=МК²+ВК²
ВМ²=2,5√3²+7,5²
ВМ²=18,75+ 56,25=75
ВМ=5√3
sin ∠ВМН=8:5√3
sin ∠ВМН = 0,9238
По таблице определяем, что
67°< ∠ВМН <68°, т.е приблизительно 67°29' ( точнее можно найти в более подробных таблицах)