КР-2. Вариант 1. 1. Точки D, Е, F и К — середины рёбер АВ, МВ, МС и АС тетраэдра МАВС соответственно, ВС = 42 см, AM = 36 см (рис. 100). Докажите, что точки D, Е, F и К являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.
2. Плоскость β пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно и параллельна стороне АВ, АЕ : СЕ = 5:2, АВ = 21 см. Найдите отрезок EF.
3. Параллелограмм ABCD является изображением ромба A1B1C1D1, точка М — изображение некоторой точки M1 отрезка C1D1 (рис. 101). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки М1 на диагональ B1D1 ромба.
4. Плоскости β и γ параллельны. Из точки А, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости β и γ в точках В1 и С1, а другой — в точках В2 и С2 соответственно. Найдите отрезок С1С2, если он на 14 см больше отрезка В1В2, АС1 =11 см, В1С1 = 7 см.
5. Дан эллипс, являющийся изображением окружности с центром О (рис. 102). Постройте изображение точки О.

В начале построим рисунок, который приложу вложением. Для наглядности соединим т. О поочерёдно с точками A, B, C, D. Получаем пирамиду с вершиной в т. O, в основании которой лежит квадрат ABCD.
Первый вопрос: 1). Докажем, что плоскость ABCD параллельна плоскости A1B1C1D1. Для этого построим пары диагоналей AC, BD, а также A1C1, B1D1.
2). Теперь рассмотрим треугольник OBD. Прямая B1D1 параллельна прямой BD, как средняя линия треугольника OBD, т.к. B1D1 соединяет середины его сторон B1 и D1 (эти точки середины по условию).
3). Теперь рассмотрим треугольник OAC. Прямая A1C1 параллельна прямой AC, как средняя линия треугольника OAC, т.к. A1C1 соединяет середины его сторон A1 и C1 (эти точки середины по условию).
4). Тогда получаем, что две пересекающиеся прямые AC и BD плоскости ABCD параллельны двум пересекающимся прямым A1C1 и B1D1 плоскости A1B1C1D1, а из этого, по теореме о параллельности двух плоскостей, следует, что плоскости ABCD и A1B1C1D1 параллельны, что и требовалось доказать.
Второй вопрос: 1). Рассмотрим треугольник OBA. B1A1 -  средняя линия треугольника OBA, т.к. соединяет середины сторон OB и OA (B1 и D1 середины по условию). Тогда B1A1=1/2 AB=10/2=5.
2). Аналогично B1C1 - средняя линия треугольника BC, C1D1 - средняя линия треугольника CD, A1D1 - средняя линия треугольника AD.
3). Тогда, B1C1=5, C1D1=5, A1D1=5.
4). Периметр A1B1C1D1=B1C1+C1D1+A1D1+B1A1=5+5+5+5=20

Фабрика – промышленный объект, специализирующийся на производстве продуктов массового производства по единому стандарту.          Мануфактура – ремесленное объединение с разделением труда и использование ручных средств производства.                                                      Отличие фабрики от мануфактурыПроизводство. На фабрике для выпуска товаров используются автоматизированные средства и предметы труда, в мануфактуре – механические или ручные.Объём продукции. Фабрика ориентирована на массовое производство товаров, мануфактура – на ограниченное.Принадлежность средств производства. Фабричные станки и оборудование принадлежат владельцу, мануфактуры – в том числе и самим рабочим.Централизация. Фабрика предполагает наличие единого центра управления, иерархичность, мануфактура – более гибкую систему взаимодействия.Заказы. Фабрика удовлетворяет потребности неопределённого круга клиентов, мануфактура – относительно узкого числа заказчиков.