Пусть АBCD трапеция с бОльшим основанием АD. Опустим высоты ВН и СК на основание АD. Получим два равных прямоугольных треугольника, ABH=СDK, АН=КD=(AD-BC):2=18:2=9 см. Пусть 4х см высота ВН, 5х боковая сторона АВ. По теореме Пифагора: АВ²=ВН²+АН², подставим значения, получим (5х)²=(4х)²+9² 25х²=16х²+81 25х²-16х²=81 9х²=81 х²=81:9 х²=9 х1=-3<0 не подходит х2=3, 4*3=12 см высота ВН 5*3=15 см боковая сторона АВ=СD. Найдем основание трапеции Периметр АВСD=AB+BC+CD+AD подставим известные значения, получим 64=15+ВС+15+АD 64=30+BC+AD 64-30=BC+AD 34=BC+AD, воспользуемся формулой площади трапеции: S=(AB+BC)*BH/2=34*12/2=204 см² ответ: 204 см²
Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий) Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3; Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других. то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3; Остается подставить это в известные соотношения 1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3; и 4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности. то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3; это все. Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях. К примеру, площадь S исходного треугольника равна S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r; Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.
Пусть 4х см высота ВН, 5х боковая сторона АВ. По теореме Пифагора:
АВ²=ВН²+АН², подставим значения, получим
(5х)²=(4х)²+9²
25х²=16х²+81
25х²-16х²=81
9х²=81
х²=81:9
х²=9
х1=-3<0 не подходит
х2=3,
4*3=12 см высота ВН
5*3=15 см боковая сторона АВ=СD.
Найдем основание трапеции
Периметр АВСD=AB+BC+CD+AD
подставим известные значения, получим
64=15+ВС+15+АD
64=30+BC+AD
64-30=BC+AD
34=BC+AD, воспользуемся формулой площади трапеции: S=(AB+BC)*BH/2=34*12/2=204 см²
ответ: 204 см²
Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3;
Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции
ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других.
то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3;
Остается подставить это в известные соотношения
1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3;
и
4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности.
то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3;
это все.
Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях.
К примеру, площадь S исходного треугольника равна
S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда
1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r;
Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.