Кут між твірною конуса та його висотою дорівнює 45° , а відстань від центра вписаної в конус кулі до вершини конуса дорівнює 4 см. Знайдіть радіус даної кулі

Теорема  о сумме углов  треугольника  — классическая теорема  евклидовой . утверждает, что сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°. из теоремы следует, что у любого треугольника не меньше двух острых углов. действительно, применяя  доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. сумма этих углов не меньше 180°. а это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. доказательство пусть  {\displaystyle \delta abc}  — произвольный треугольник. проведём через вершину  bпрямую, параллельную прямой  ac. отметим на ней точку  d  так, чтобы точки  aи  d  лежали по разные стороны от прямой  bc. углы  dbc  и  acb  равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей  bc  с параллельными прямыми  ac  и  bd. поэтому сумма углов треугольника при вершинах  b  и  с  равна углу  abd. сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов  abd  и  bac. так как эти углы внутренние односторонние для параллельных  ac  и  bd  при секущей  ab, то их сумма равна 180°.  что и требовалось доказать.

Пусть коэффициент отношений диагоналей равен x. 

Тогда короткая диагональ будет 2х, а длинная 7х.

Половина каждой из них будет х и 3,5х соответственно.

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равное стороне ромба 53:4=13,25 и катетами х и 3,5х, равными половинами диагоналей, найдем по т.Пифагора величину х.
x^2+(3,5х)^2=(13,25)^2

13,25x^2=(13,25)^2

x^2=13,25

x=корень из 13,25
2х=2*корень из 13,25

7х=7*корень из 13,25

 

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S=7*корень из 13,25*2*корень из 13,25 = 92,75

Высоту ромба найдем по формуле:

S=h*a

S=h*13,25

h=92,75:13,25 = 7

ответ: 7.