Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 60°. Знайдіть площу паралелограма. якщо його висоти дорівнюють 8 см і 12 см.

Площадь параллелограмма равна 64√3 см².

Объяснение:

Угол между высотами параллелограмма, проведенными с вершины тупого угла, равна 60°. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

Дано: ABCD - параллелограмм;

ВЕ и ВН - высоты;

∠ЕВН = 60°;

ВЕ = 8 см; ВН = 12 см.

Найти: S(ABCD)

1. Рассмотрим ЕВНD.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

⇒ ∠D = 360° - ∠BED - ∠EBH - ∠BHD = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°

2. Рассмотрим ΔНВС - прямоугольный.

Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма равна 180°.

⇒ ∠С = 180° - ∠D = 180° - 120° = 60°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠HBC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ 2 HC = BC

Пусть НС = х см, тогда ВС = 2х см.

По теореме Пифагора найдем ВС.

ВС² = НС² + ВН²

4х² = х² + 144

3х² = 144

х² = 48

х = 4√3

⇒ НС = 4√3 см, ВС = 8√3 см.

3. Найдем площадь ABCD.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

S (ABCD) = AD · EB

Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ AD = BC = 8√3 см

⇒ S (ABCD) = 8√3 · 8 = 64√3 (см²)

Площадь параллелограмма равна 64√3 см².