КвадратАВСДіпрямокутнийтрикутникАВМ(
кут В = 90 градусів) розміщені в перпендикулярних площинах.
Обчисліть довжину відрізка МД, якщо ВМ дорівнює 12 см., а сторона квадрата дорівнює 12 √2 см

[1]Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, ∠АВО = 36°. Найдите ∠ АОD.

По свойству прямоугольника его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, при этом образуя две пары равных и равнобедренных треугольников ⇒ АО = СО = ВО = ОD ⇒ ΔAOB - равнобедренный, так как АО = ВО. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠АВО = ∠ВАО = 36°

∠АОD = ∠ABO + ∠BAO = 2•∠ABO = 2•36° = 72°  - по свойству внешнего угла ∠АОD

ответ: 72°

[2]Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из углов равен 20°.

В прямоугольной трапеции присутствуют два прямых угла при одной боковой стороне, при другой - острый и тупой угол ⇒ ∠ADC = 20°, ∠ABC = 90° , ∠BAD = 90°. Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠BCD = 360° - 90° - 90° - 20° = 180° - 20° = 160°

ответ: 20° , 90° , 90° , 160°

[3]Стороны параллелограмма относятся как 1:2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.

По свойству параллелограмма его противолежащие стороны попарно параллельны и равны ⇒ AB = CD , BC = AD

Пусть AB = x, тогда BC = 2x, составим уравнение:

P (abcd) = 2•(AB + BC)

30 = 2•(x + 2x)  ⇒  6x = 30  ⇒  x = 5 см

Значит, AB = CD = 5 см, BC = AD = 2•5 = 10 см

ответ: 5 см, 10 см, 5 см, 10 см

[4]В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.

По свойству равнобедренной трапеции углы при его основаниях равны ⇒ ∠АВС = ∠BCD , ∠BAD = ∠CDA

По условию ∠BAD + ∠CDA = 96°  ⇒  2•∠BAD = 96°  ⇒  ∠BAD = ∠CDA = 48°

Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠ABC + ∠BCD = 360° - 48° - 48°  ⇒  ∠ABC + ∠BCD = 264°  ⇒ 2•∠ABC = 264°  ⇒  ∠ABC = ∠BCD = 132°

ответ: 48° , 48° , 132° , 132°

[5]Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD образует со стороной АВ угол в 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали ВD ромба, если точка М лежит на стороне АD.

В прямоугольном ΔАВМ: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ⇒ АВ = 2•АМ = 2•4 = 8 см

Сумма углов в треугольнике составляет 180°:  ∠ВАМ = 180° - 90° - 30° = 60°

В ромбе все стороны равны: АВ = ВС = CD = AD = 8 см

ΔBAD - равнобедренный, так как AB = AD = 8 см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ABD = ∠ADB = (180° - ∠BAD)/2 = (180° - 60°)/2 = 60° ⇒ ∠BAD = ∠ABD = ∠ADB = 60°

Значит, ΔABD - равносторонний,  AB = AD = BD = 8 см

ответ: 8 см

 Обозначим пирамиду МАВС. 

Боковые ребра пирамиды наклонены под одинаковым (45°) углом к плоскости основания. 

Значит, их проекции равны радиусу описанной окружности правильного треугольника, а вершина  пирамиды проецируется в центр О ее основания.

Боковые ребра с высотой пирамиды образуют равнобедренный прямоугольный треугольник . 

В ∆ МАО угол МАО= 45° (по условию). Поэтому высота МО пирамиды равна радиусу АО описанной окружности. 

Радиус описанной окружности находят по формуле R=а/√3

R=АО=12:√3=12√3:3=4√3 

МО=АО=4√3