У тетраэдра АВСD все рёбра равны а, следовательно, все углы между рёбрами граней равны по 60°.
По условию АК = КD, поэтому АК = КD = а/2.
По условию CL : LD = 1 : 2, следовательно CL = a/3, a LD = 2a/3.
Смотри прикреплённый рисунок. Там сделаны дополнительные построения.
В1.
Из точки К проводим прямую KM, параллельную АВ и соединяем отрезком прямой точки М и L
Поскольку плоскость KLM параллельна АВ, то по определению параллельности прямой и плоскости (Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости) строим плоскость KLM следующим образом.
Проводим прямую КМ параллельно АВ и соединяем отрезком прямой точки М и L. По приведённому признаку параллельности прямая АВ параллельна плоскости KLM.
Поскольку КМ ║ АВ, то MD = BM = a/2
КМ - является средней линией ΔADB ⇒ КМ = а/2.
Рассмотрим Δ MDL. Найдём в нём сторону ML.
По теореме косинусов ML² = MD² + LD² - 2 · MD · LD · cos 60°
ML² = (a/2)² + (2a/3)² - 2 · a/2 · 2a/3 · 1/2
ML² = a²/4 + 4a²/9 - a²/3
ML² = 13a²/36
ML = (a√13)/6
ΔKDL = ΔMDL (KD = MD; DL - общая сторона; и ∠KDL = ∠MDL = 60°)
Следовательно, KL = ML = (a√13)/6
и ΔKML - равнобедренный KL = ML = (a√13)/6
Высота h в ΔKML является и медианой и делит пополам сторону КМ, которая равна а/2
Так как все боковые рёбра равны, то вершина пирамиды проецируется на основание в центр описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника - это середина гипотенузы.
Значит, грань ASB - вертикальна.
У этой грани углы при основании по 60 градусов, значит, треугольник ASB- равносторонний. AB = 10√3.
Высота пирамиды SH = 10√3*sin 60° = 10√3*(√3/2) = 15.
Сторона ВС, как лежащая против угла 30°, равна (10√3)/2 = 5√3, поэтому у равнобедренного треугольника BSC основание равно 5√3.
Отсюда по теореме косинусов находим угол SBC.
cos(SBC) = ((5√3)² + (10√3)² - (10√3)²)/(2*5√3*10√3) = 75/300 = 1/4.
Угол SBC = arc cos(1/4) = 1,3181 радиан или 75,5225 градуса.
Площадь основания So = (1/2)*АС*ВС.
АС = 10√3*cos 30° = 10√3*(√3/2) = 15.
So = (1/2)*15*(5√3 )= 75√3/2 кв.ед.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*(75√3/2)*15 = (375√3/2) куб.ед.
B1. S = (a²√43)/48 ≈ 0.137 a²; B2. AE = 2a;
Объяснение:
У тетраэдра АВСD все рёбра равны а, следовательно, все углы между рёбрами граней равны по 60°.
По условию АК = КD, поэтому АК = КD = а/2.
По условию CL : LD = 1 : 2, следовательно CL = a/3, a LD = 2a/3.
Смотри прикреплённый рисунок. Там сделаны дополнительные построения.
В1.
Из точки К проводим прямую KM, параллельную АВ и соединяем отрезком прямой точки М и L
Поскольку плоскость KLM параллельна АВ, то по определению параллельности прямой и плоскости (Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости) строим плоскость KLM следующим образом.
Проводим прямую КМ параллельно АВ и соединяем отрезком прямой точки М и L. По приведённому признаку параллельности прямая АВ параллельна плоскости KLM.
Поскольку КМ ║ АВ, то MD = BM = a/2
КМ - является средней линией ΔADB ⇒ КМ = а/2.
Рассмотрим Δ MDL. Найдём в нём сторону ML.
По теореме косинусов ML² = MD² + LD² - 2 · MD · LD · cos 60°
ML² = (a/2)² + (2a/3)² - 2 · a/2 · 2a/3 · 1/2
ML² = a²/4 + 4a²/9 - a²/3
ML² = 13a²/36
ML = (a√13)/6
ΔKDL = ΔMDL (KD = MD; DL - общая сторона; и ∠KDL = ∠MDL = 60°)
Следовательно, KL = ML = (a√13)/6
и ΔKML - равнобедренный KL = ML = (a√13)/6
Высота h в ΔKML является и медианой и делит пополам сторону КМ, которая равна а/2
Найдём h по теореме Пифагора
ML² = h² + (KM/2)²
13a²/36 = h² + (a/4)²
h² = 13a²/36 - a²/16 = 52a²/144 - 9a²/144 = 43a²/144
h = (а√43)/12
Площадь ΔKML равна
S = 1/2 · KM · h = 1/2 · a/2 · (а√43)/12
S = (a²√43)/48
В2.
В треугольнике АКЕ проведём прямую KF ║ СL.
Тогда ΔАКF - равнобедренный (так как ∠КFA = ∠KAF = 60°), и KF = AF = a/2; и FC = AC - AF = a - a/2 = a/2
ΔKFE и ΔLCE подобны, так как KF ║ LC.
Из их подобия следует, что
КF : LC = EF : EC
a/2 : a/3 = (FC + EC) : EC
3/2 = (a/2 + EC) : EC
3 EC/2 = a/2 + EC
EC/2 = a/2
EC = a
AE = AC + EC = a + a = 2a