Сделаем рисунок к задаче. Треугольник АВС - тупоугольный, центр описанной окружности находится вне его. Углы при основании АС равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным 120° равны (180°-120°):2=30°. Проведем диаметр ВД как продолжение высоты треугольника АВС. Соединим А и С с точкой Д пересечения диаметра и окружности. Углы ВАД и ВСД прямые - опираются на диаметр. Углы САД и АСД равны 60° (90°-30°=60°. Можно также вспомнить, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 °, а четырехугольник АВСД безусловно вписанный, поэтому угол АДС=60°.) Треугольник АДС - равносторонний - все его углы равны 60°, следовательно, все стороны равны. В треугольнике АВН сторона АН=АВ*cos(30)=√3 отсюда АС=АД=СД=2√3 ДН=АС*sin(60)=(2√3)*√3):2=3 см Диаметр описанной окружности равен сумме высот треугольников АВС и АСД. Высота ВН как противолежащая углу 30° равна половине АВ=1 см Диаметр ВД=3+1=4 см --------------- Более короткое решение - Найдя величину угла АДС=60°, найдем величину угла АДВ=30°. АВ противолежит углу АДВ, равному 30°, и потому равна половине диаметра ВД. Отсюда ВД=2*2=4 см
Поскольку решать будем без чертежа, то рассмотрим осевое сечение конуса, т.е. треугольник АВС, где АВ и АС образующие, угол В = 120. ВН - высота. Проведем прямую параллельную основанию конуса, по которой плоскость пересечет конус. Точки пересечения этой прямой собразующими и высотой М, К, О. М лежит на АВ, К на ВС, О на ВН. ВО : ОН = 2 : 3. Образующая АВ = 12 см Треуг. АВС прямоугольный и равнобедренный, угол А = (180 - 120) : 2 = 30. Напротив угла 30 градусов лежит катет вдвое меньше гипотенузы, т.е. ВН = 12 : 2 = 6 см. Так как ВО : ОН = 2 : 3, то ВН состоит из 5 частей. ВО = 6 : 5 * 2 = 2,4 см Рассмотрим треуг. ВОМ, радиус которого нам нужен для вычисления площади сечения. МО - это и есть искомый радиус. Поскольку МО параллельно АН, то угол ВМО = ВАН = 30 как соответствующие углы при параллельных прямых АН и МО и секущей АВ. Тогда МВ = 2 * 2,4 = 4,8 см. МО^2 = MB^2 - BO^2 MO^2 = 4,8^2 - 2,4^2 = 23,04 - 5,76 = 17,28 см^2 MO = R радиусу сечения. Тогда площадь сечения: S = ПR^2 = 17,28*П ответ: 17,28*П
Треугольник АВС - тупоугольный,
центр описанной окружности находится вне его.
Углы при основании АС равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным 120° равны (180°-120°):2=30°.
Проведем диаметр ВД как продолжение высоты треугольника АВС.
Соединим А и С с точкой Д пересечения диаметра и окружности.
Углы ВАД и ВСД прямые - опираются на диаметр.
Углы САД и АСД равны 60° (90°-30°=60°.
Можно также вспомнить, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 °, а четырехугольник АВСД безусловно вписанный, поэтому угол АДС=60°.)
Треугольник АДС - равносторонний - все его углы равны 60°,
следовательно, все стороны равны.
В треугольнике АВН сторона АН=АВ*cos(30)=√3 отсюда АС=АД=СД=2√3
ДН=АС*sin(60)=(2√3)*√3):2=3 см
Диаметр описанной окружности равен сумме высот треугольников
АВС и АСД.
Высота ВН как противолежащая углу 30° равна половине АВ=1 см
Диаметр ВД=3+1=4 см
---------------
Более короткое решение -
Найдя величину угла АДС=60°, найдем величину угла АДВ=30°.
АВ противолежит углу АДВ, равному 30°, и потому равна половине диаметра ВД.
Отсюда ВД=2*2=4 см
Проведем прямую параллельную основанию конуса, по которой плоскость пересечет конус. Точки пересечения этой прямой собразующими и высотой М, К, О. М лежит на АВ, К на ВС, О на ВН.
ВО : ОН = 2 : 3.
Образующая АВ = 12 см
Треуг. АВС прямоугольный и равнобедренный, угол А = (180 - 120) : 2 = 30.
Напротив угла 30 градусов лежит катет вдвое меньше гипотенузы, т.е. ВН = 12 : 2 = 6 см.
Так как ВО : ОН = 2 : 3, то ВН состоит из 5 частей.
ВО = 6 : 5 * 2 = 2,4 см
Рассмотрим треуг. ВОМ, радиус которого нам нужен для вычисления площади сечения. МО - это и есть искомый радиус.
Поскольку МО параллельно АН, то угол ВМО = ВАН = 30 как соответствующие углы при параллельных прямых АН и МО и секущей АВ.
Тогда МВ = 2 * 2,4 = 4,8 см.
МО^2 = MB^2 - BO^2
MO^2 = 4,8^2 - 2,4^2 = 23,04 - 5,76 = 17,28 см^2
MO = R радиусу сечения.
Тогда площадь сечения:
S = ПR^2 = 17,28*П
ответ: 17,28*П