Математика 9 класс три окружности равного радиуса с центрами в точках А, В, С пересекаются в одной точке О. Докажите, что площади трёх множеств точек, принадлежащих только одной из окружностей, равны удвоенной площади треугольника АВС
2. дан неравносторонний треугольник. В него вписывают окружность. В точках касания строят новый треугольник. В него снова вписывают окружность и т.д. Докажите, что среди получившихся треугольников нет двух подобных

Во-первых не прямоугольник, а прямоугольный треугольник АВС!Треугольник ВДС - прямоугольный с прямым углом Д.По теореме Пифагора найдем в нем гипотенузу ВС.ВС^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900ВC = корень из  900 = 30Воспользуемся свойством пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВС.ВД = под корнем СД*АД24 = под корнем 18 *АД24^2 = 18*АД576 = 18АДАД = 576 : 18 = 32Тогда АС = 32+18 = 50В прямоуг. треугольнике АВС найдем катет АВ по теореме ПифагораАB^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600/ Тогда АВ = корень из 1600 = 40(см)cos A = AB/AC = 40/50 = 4/5 = 0,8ответ: АВ = 40 см;  cos А = 0,8

Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: ΔАВС, КМ - средняя линия.
Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2

Доказательство:

1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС.
По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М.
Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит
КМ ║ АС.
2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ.
По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н - середина АС.
АКМН - параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2