Воспользуемся признаком подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
общий Значит Δ подобен Δ Из подобия треугольников тогда по признаку параллельности прямых по равенству соответственных углов : ║ ч. т. д.
Полуокружность (это 180°) разделена на две дуги,градусные меры которых относятся как 2:4. Значит, дуги равны (180/(2+4))*2 = 60° и 120°. Хорды и диаметр образуют прямоугольный треугольник с углами 30° и 60° (по свойству вписанных углов). Обозначим меньший катет за х, второй - (х+10). Гипотенуза (это диаметр) равна 2х (катет х лежит против угла в 30°). По Пифагору 4х² = х²+(х²+20х+100). Получаем квадратное уравнение 2х²-20х-100 = 0, сократим на 2: х²-10х-50 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-10)^2-4*1*(-50)=100-4*(-50)=100-(-4*50)=100-(-200)=100+200=300;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√300-(-10))/(2*1)=(√300+10)/2=(√300/2)+(10/2)=(√300/2)+5 ≈13,660254; x_2=(-√300-(-10))/(2*1)=(-√300+10)/2= (-√300/2)+(10/2) = (-√300/2)+5 ≈ -3,660254. Отрицательный корень отбрасываем
Доказать, что
Воспользуемся признаком подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Значит Δ
Из подобия треугольников
тогда по признаку параллельности прямых по равенству соответственных углов :
ч. т. д.
Хорды и диаметр образуют прямоугольный треугольник с углами 30° и 60° (по свойству вписанных углов).
Обозначим меньший катет за х, второй - (х+10).
Гипотенуза (это диаметр) равна 2х (катет х лежит против угла в 30°).
По Пифагору 4х² = х²+(х²+20х+100).
Получаем квадратное уравнение 2х²-20х-100 = 0, сократим на 2:
х²-10х-50 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-10)^2-4*1*(-50)=100-4*(-50)=100-(-4*50)=100-(-200)=100+200=300;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√300-(-10))/(2*1)=(√300+10)/2=(√300/2)+(10/2)=(√300/2)+5 ≈13,660254; x_2=(-√300-(-10))/(2*1)=(-√300+10)/2= (-√300/2)+(10/2) =
(-√300/2)+5 ≈ -3,660254. Отрицательный корень отбрасываем
ответ: диаметр равен 2х = 2*((√300/2)+5) = √300+10 ≈ 27,32051.