На фабриці фасують шоколадні цукерки вкоробки у вигляді прямої призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями 24 см и 10 см. Площа повної поверхні призми дорівнює 500 см2 . Яка буде висота цієї коробки? (у см)

1) ∠SAD = 30°.

2) ∠ASO = 30°.

3) ∠SAC = 60°.

4) ∠SHO = 30°.

Объяснение:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковые ребра равны, углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны, углы при вершинах основания равны 120°, а стороны основания равны расстоянию от центра основания (проекции вершины на плоскость основания) до вершин основания.

Тогда:

1) В прямоугольном треугольнике АSО косинус угла SAO равен сos(∠SAO) = АО/AS = √3/2. =>

∠SAD = ∠SAO = arccos(√3/2) = 30°.

2) В прямоугольном треугольнике АSО тангенс угла АSO равен tg(∠ASO) = АО/SO = 1/√3. =>

∠ASO = arctg(√3/3) = 30°.

3)  По теореме косинусов в треугольнике АВС сторона

АС = √(АВ²+ВС²-2·АВ·ВС·Cos120) => √(6+6·1/2) = 3ед. =>

Треугольник АSС равносторонний (AS=CS=3 - дано, АС = 3) и

∠SAC = 60°.

4) Угол между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой SH  (высотой основания) и плоскостью основания. В нашем случае это угол SHO прямоугольного треугольника SHO.

Cos(∠SHO) = OH/SH.  OH - высота правильного треугольника AOF.

OH = (√3/2)·AF .  SH = AF - дано.  Тогда

Cos(∠SHO) = (√3/2)·AF /AF = √3/2.

∠SHO = arccos(√3/2)  = 30°.

Прямоугольник имеет длину и ширину.
Пусть от точки пересечения диагоналей до длины прямоугольника = х см,
тогда до ширины прямоугольника = (х + 2,5) см.
Мы знаем, что диагонали пересекаются точно посередине (по центру) прямоугольника, поэтому ширина прямоугольника = 2х (см) , 
а длина прямоугольника = 2(х + 2,5) см. 
Периметр прямоугольника = 34см. Формула: Р = 2(а + b)
По условию задачи составим уравнение:
2 (( 2х + 2(х + 2,5)) = 34
2*(2x + 2x + 5) = 34
4x + 4x + 10 = 34
8x = 34 - 10
8x = 24
  x = 3
2х = 6
2(x + 2,5) = 2*(3 + 2,5) = 11
ответ: 6 см - ширина прямоугольника; 11 см - длина прямоугольника