Чтобы найти точки на гиперболе, которые удовлетворяют условию о расстоянии от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого, нам нужно использовать определение гиперболы и формулу для расстояния от точки до фокуса.
1. Начнем с определения гиперболы. Гипербола - это множество всех точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. В нашем случае, мы знаем, что разность расстояний равна 144.
2. Рисуем график гиперболы. Для начала, выразим уравнение в стандартной форме. Для этого, нам нужно выделить полные квадраты. Перенесем член -144 вправо:
9x² - 16y² = 144
9x² - 16y² - 144 = 0
Заметим, что 9 и 16 делятся на 144, поэтому домножим все уравнение на -1/144:
-(1/16)x² + (1/9)y² + 1 = 0
Теперь, перенесем единицу вправо:
-(1/16)x² + (1/9)y² = -1
Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме:
(x²/16) - (y²/9) = 1
Уравнение гиперболы в стандартной форме имеет вид (x²/a²) - (y²/b²) = 1, где a и b - полуоси гиперболы.
Так как a² = 16, a = 4 и b² = 9, b = 3.
Процесс поясняет, что гипербола имеет центр в начале координат (0,0), полуоси a = 4 и b = 3, и фокусами этих полуосей.
3. Теперь найдем координаты фокусов. Фокусные точки гиперболы можно найти по формуле:
c² = a² + b²
где c - расстояние от центра до фокуса. В нашем случае:
c² = 4² + 3²
c² = 16 + 9
c² = 25
c = 5
Так как фокусы находятся по обе стороны центра, их координаты будут (-5, 0) и (5, 0).
4. Теперь мы можем перейти к нахождению точек, удовлетворяющих условию о расстоянии. Пусть точка на гиперболе имеет координаты (x, y). Расстояние от этой точки до левого фокуса (-5, 0) равно |x - (-5)|, а до правого фокуса (5, 0) - |x - 5|. Согласно условию, мы знаем, что это расстояние от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого, поэтому:
|x - (-5)| = 3 * |x - 5|
Теперь, чтобы решить это уравнение, мы разобьем его на два случая в зависимости от значения x.
Первый случай: x ≤ -5
Расстояние |x - (-5)| = -x - (-5) = -x + 5
Расстояние 3 * |x - 5| = 3 * (x - 5) = 3x - 15
Теперь можем уравнение:
-x + 5 = 3x - 15
Переносим x влево и число -15 вправо:
4x = 20
x = 20/4 = 5
Так как x ≤ -5, то этот случай не подходит.
Второй случай: x ≥ 5
Расстояние |x - (-5)| = x + 5
Расстояние 3 * |x - 5| = 3 * (x - 5) = 3x - 15
Теперь можем уравнение:
x + 5 = 3x - 15
Переносим x влево и число -15 вправо:
2x = 20
x = 20/2 = 10
Так как x ≥ 5, то этот случай подходит.
Теперь найдем соответствующие y-координаты для точки (10, y):
(x²/16) - (y²/9) = 1
(10²/16) - (y²/9) = 1
100/16 - (y²/9) = 1
y²/9 = 100/16 - 1
y²/9 = 25/16
Умножаем обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
y² = (25/16) * 9
y² = 225/16
Теперь возьмем корень квадратный от обеих сторон:
y = ±√(225/16)
y = ±15/4
Таким образом, точки, расстояние которых от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого, имеют координаты (10, 15/4) и (10, -15/4).
Для данной гиперболы преобразуя получаем формула х^2/16-у^2/9=1, т.е а = 4
1. Начнем с определения гиперболы. Гипербола - это множество всех точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. В нашем случае, мы знаем, что разность расстояний равна 144.
2. Рисуем график гиперболы. Для начала, выразим уравнение в стандартной форме. Для этого, нам нужно выделить полные квадраты. Перенесем член -144 вправо:
9x² - 16y² = 144
9x² - 16y² - 144 = 0
Заметим, что 9 и 16 делятся на 144, поэтому домножим все уравнение на -1/144:
-(1/16)x² + (1/9)y² + 1 = 0
Теперь, перенесем единицу вправо:
-(1/16)x² + (1/9)y² = -1
Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме:
(x²/16) - (y²/9) = 1
Уравнение гиперболы в стандартной форме имеет вид (x²/a²) - (y²/b²) = 1, где a и b - полуоси гиперболы.
Так как a² = 16, a = 4 и b² = 9, b = 3.
Процесс поясняет, что гипербола имеет центр в начале координат (0,0), полуоси a = 4 и b = 3, и фокусами этих полуосей.
3. Теперь найдем координаты фокусов. Фокусные точки гиперболы можно найти по формуле:
c² = a² + b²
где c - расстояние от центра до фокуса. В нашем случае:
c² = 4² + 3²
c² = 16 + 9
c² = 25
c = 5
Так как фокусы находятся по обе стороны центра, их координаты будут (-5, 0) и (5, 0).
4. Теперь мы можем перейти к нахождению точек, удовлетворяющих условию о расстоянии. Пусть точка на гиперболе имеет координаты (x, y). Расстояние от этой точки до левого фокуса (-5, 0) равно |x - (-5)|, а до правого фокуса (5, 0) - |x - 5|. Согласно условию, мы знаем, что это расстояние от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого, поэтому:
|x - (-5)| = 3 * |x - 5|
Теперь, чтобы решить это уравнение, мы разобьем его на два случая в зависимости от значения x.
Первый случай: x ≤ -5
Расстояние |x - (-5)| = -x - (-5) = -x + 5
Расстояние 3 * |x - 5| = 3 * (x - 5) = 3x - 15
Теперь можем уравнение:
-x + 5 = 3x - 15
Переносим x влево и число -15 вправо:
4x = 20
x = 20/4 = 5
Так как x ≤ -5, то этот случай не подходит.
Второй случай: x ≥ 5
Расстояние |x - (-5)| = x + 5
Расстояние 3 * |x - 5| = 3 * (x - 5) = 3x - 15
Теперь можем уравнение:
x + 5 = 3x - 15
Переносим x влево и число -15 вправо:
2x = 20
x = 20/2 = 10
Так как x ≥ 5, то этот случай подходит.
Теперь найдем соответствующие y-координаты для точки (10, y):
(x²/16) - (y²/9) = 1
(10²/16) - (y²/9) = 1
100/16 - (y²/9) = 1
y²/9 = 100/16 - 1
y²/9 = 25/16
Умножаем обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
y² = (25/16) * 9
y² = 225/16
Теперь возьмем корень квадратный от обеих сторон:
y = ±√(225/16)
y = ±15/4
Таким образом, точки, расстояние которых от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого, имеют координаты (10, 15/4) и (10, -15/4).