На клетчатой бумаге нарисован квадрат 30x30 , все стороны (их длины равны 30) которого идут по линиям сетки. какое наименьшее число прямых, не параллельных линиям сетки, нужно провести, чтобы вычеркнуть все узлы, находящиеся на границе или внутри квадрата?

Пятиугольник ABCDE - выпуклый ⇒ все диагонали (AC,AD,BD,BE,CE) лежат внутри пятиугольника.  Периметр пятиугольника
P = AB+BC+CD+DE+EA

ΔABC :   AC < AB + BC
ΔBCD :   BD < BC + CD
ΔCDE :   CE < CD + DE
ΔDEA :   DA < EA + DE
ΔABE :   EB < AB + EA
Сложить все пять неравенств :
AC+BD+CE+DA+EB<2(AB+BC+CD+DE+EA)
AC+BD+CE+DA+EB < 2P  ⇒
Сумма диагоналей меньше двух периметров пятиугольника.

ΔAFB :   AF + BF  > AB
ΔBGC :  BG + GC > BC
ΔCKD :  CK + KD > CD
ΔDTE :  DT + TE  > DE
ΔEMA : EM + AM > EA
Сложить все пять неравенств :
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>AB+BC+CD+DE+EA  ⇒
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>P  

Добавить верное неравенство : FG+FM+GK+KT+MT > 0   ⇒

(AF+FG+GC)+(BF+FM+EM)+(BG+GK+KD)+(CK+KT+TE)+(AM+MT+DT)>P   ⇒
AC + BE + BD + CE + AD > P    ⇒
Сумма диагоналей больше периметра пятиугольника

По условию АС:АВ=5:7 или АС=5АВ/7.
Т.к. ВМ - медиана, значит АМ=СМ=АС/2. Согласно свойству медианы BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника АВМ и СВМ:
Sавм=Sсвм=Sавс/2.
Т.к. АР- биссектриса, значит <ВАР=<САР. Согласно свойству биссектрисы АР делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:
АВ:АС=ВР:РС,
АВ:5АВ/7=ВР:РС
ВР:РС=7:5 или РС=5ВР/7. 
Тогда сторона ВС=ВР+РС=ВР+5ВР/7=12ВР/7
Аналогично и в треугольнике АВМ бисссектриса АК:
АВ:АМ=ВК:КМ, АВ:АС/2=ВК:КМ,
АВ:5АВ/14=ВК:КМ
ВК:КМ=14:5 или КМ=5ВК/14. 
Тогда медиана ВМ=ВК+КМ=ВК+5ВК/14=19ВК/14.
У треугольников АВМ и АКМ одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВМ, а если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты):
Sавм:Sакм=ВМ:КМ=19ВК/14:5ВК/14=19:5
Sакм=5Sавм/19=5Sавс/38
Аналогично у треугольников АВС и АВР одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВС, значит Sавс:Sавр=ВС:ВР=12ВР/7:ВР=12:7.
Sавр=7Sавс/12.
Находим площадь четырехугольника Sкрсм:
Sкрсм=Sавс-Sавр-Sакм=Sавс-7Sавс/12-5Sавс/38=65Sавс/228.
Отношение площади Sкрсм:Sавс=65Sавс/228:Sавс=65/228