На клетчатой бумаге размером клетки 1см×1см отмечен треугольник ABC с вершинами в узлах сетки. Найдите длину высоты, проведенной к стороне AC этого треугольника. ответ дайте в см.

Пусть AD и BC - нижнее и верхние основания. Точкой О обозначим точку пересечения диагоналей. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то треугольники AOD и BOC - прямоугольные. Также эти треугольники будут равнобедренными, поскольку трапеция - равнобокая. Поэтому остальные углы в этих треугольниках по 45 градусов. Далее в трапеции через точку О строим её высоту. AD она пересекает в точке M, а BC - в точке N.Так как треугольники AOD и BOC  - равнобедренные, то их высоты OM и ON будут также медианами и биссектрисами. Таким образом, получим, что треугольники AOM и BON - равнобедренные (имеют по 2 угла по 45 градусов). Отсюда находим: OM=AM=47/2 см, ON=OB=23/2 см. Отсюда Находим высоту MN. Теперь имеем достаточные данные для нахождения площади трапеции:S=1/2*(BC+AD)*MN.

Разделим трапецию пополам линией симметрии 
Рассмотрим треугольник из - диагонали 17 см, высоты h и отрезка основания 10.5 + 4.5 = 15 см
по теореме Пифагора
h² + 15² = 17²
h² = 17² - 15²
h² = (17+15)(17-15) = 32*2 = 64
h = 8 см
Найдём боковую сторону из прямоугольного треугольника, содержащего боковую сторону как гипотенузу, высоту как катет и отрезок основания в 6 см как второй катет
z² = 6² + 8²
z² = 36 + 64 = 100
z = 10 см
Сиагональ и часть трапеции сверху от диагонали - это треугольник со сторонами 9, 10, 17 см
Описанная окружность этого треугольника и трапеции совпадают
Полупериметр этого треугольника
p = (9 + 10 + 17)/2 = 36/2 = 18 см
Площадь по формуле Герона
S² = 18*(18-9)*(18-10)*(18-17)  = 18*9*8 = 9*9*16
S = 9*4 = 36 см²
Радиус описанной окружности
R = abc/(4S) = 9*10*17/(4*36) = 10*17/(4*4) = 85/8 см