На координатной плоскости изображен равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, где А(4; 0), В(–1; 2), С(a; b). Точка С лежит на оси абсцисс. Найдите сумму a + b.
Давайте начнем с изучения данной задачи. У нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC на координатной плоскости. Нам известны координаты вершин A и B, а также то, что точка C лежит на оси абсцисс. Наша задача - найти сумму координат точки C, то есть сумму чисел a и b.
Сначала давайте определим, какие координаты имеют вершины треугольника АВС.
У нас есть вершина A с координатами (4; 0). Здесь число 4 соответствует оси абсцисс (горизонтальной оси) и 0 соответствует оси ординат (вертикальной оси). Таким образом, координаты вершины A равны (4; 0).
Теперь у нас есть вершина B с координатами (-1; 2). Здесь число -1 соответствует оси абсцисс (горизонтальной оси) и 2 соответствует оси ординат (вертикальной оси). Таким образом, координаты вершины B равны (-1; 2).
Мы знаем, что треугольник ABC - равнобедренный, поэтому его боковые стороны равны. Из равенства сторон треугольника можно заключить, что расстояние между точками A и C равно расстоянию между точками B и C.
Теперь рассмотрим основание треугольника AC. Оно определяется координатами вершин A и C. Вершина A имеет координаты (4; 0), а вершина C имеет координаты (a; b). Основание треугольника AC - отрезок прямой, проведенный между этими двумя точками.
Так как точка C лежит на оси абсцисс, то ордината b равна 0. Теперь наше основание треугольника AC может быть записано как отрезок между точками (4; 0) и (a; 0).
Расстояние между двумя точками на плоскости может быть вычислено с использованием теоремы Пифагора. В данном случае мы можем использовать эту теорему, чтобы найти длину основания AC.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:
d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Применим эту формулу для нахождения длины основания AC:
d₁ = sqrt((a - 4)² + (0 - 0)²)
Так как треугольник ABC - равнобедренный, то длина основания AC равна длине стороны AB. То есть:
d₁ = d₂
d₂ = sqrt((-1 - a)² + (2 - 0)²)
Мы знаем, что d₁ = d₂, поэтому мы можем приравнять выражения:
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
(a - 4)² + (0 - 0)² = (-1 - a)² + (2 - 0)²
(a - 4)² = (-1 - a)² + 4
a² - 8a + 16 = 1 + 2a + a² + 4
a² - 8a + 16 = 5 + 2a
Перенесем все элементы в левую часть уравнения:
a² - 8a - 2a + 16 - 5 = 0
a² - 10a + 11 = 0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя методы, такие как разложение на множители, метод квадратного корня или формулу дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.
Формула дискриминанта для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 выглядит следующим образом:
D = b² - 4ac
Здесь a = 1, b = -10 и c = 11. Подставим значения в формулу:
D = (-10)² - 4 * 1 * 11
D = 100 - 44
D = 56
Дискриминант равен 56. Теперь можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
Подставим значения в формулу:
a = 1, b = -10 и D = 56
x₁ = (-(-10) + sqrt(56)) / (2 * 1)
x₁ = (10 + sqrt(56)) / 2
x₁ = (10 + 2sqrt(14))/2
x₁ = 5 + sqrt(14)
x₂ = (-(-10) - sqrt(56)) / (2 * 1)
x₂ = (10 - sqrt(56)) / 2
x₂ = (10 - 2sqrt(14))/2
x₂ = 5 - sqrt(14)
Таким образом, у нас есть два возможных значения a: a₁ = 5 + sqrt(14) и a₂ = 5 - sqrt(14).
Теперь нам нужно найти соответствующие значения b, чтобы найти сумму a + b.
Вершина C имеет координаты (a; b) и лежит на оси абсцисс, поэтому ордината b равна 0.
Таким образом, сумма a + b равна a + 0, что равно a.
Таким образом, сумма a + b для данной задачи равна a.
Ответ: сумма a + b равна a, где a может быть a₁ = 5 + sqrt(14) или a₂ = 5 - sqrt(14). Это зависит от того, какое значение a выберет ученик.
Сначала давайте определим, какие координаты имеют вершины треугольника АВС.
У нас есть вершина A с координатами (4; 0). Здесь число 4 соответствует оси абсцисс (горизонтальной оси) и 0 соответствует оси ординат (вертикальной оси). Таким образом, координаты вершины A равны (4; 0).
Теперь у нас есть вершина B с координатами (-1; 2). Здесь число -1 соответствует оси абсцисс (горизонтальной оси) и 2 соответствует оси ординат (вертикальной оси). Таким образом, координаты вершины B равны (-1; 2).
Мы знаем, что треугольник ABC - равнобедренный, поэтому его боковые стороны равны. Из равенства сторон треугольника можно заключить, что расстояние между точками A и C равно расстоянию между точками B и C.
Теперь рассмотрим основание треугольника AC. Оно определяется координатами вершин A и C. Вершина A имеет координаты (4; 0), а вершина C имеет координаты (a; b). Основание треугольника AC - отрезок прямой, проведенный между этими двумя точками.
Так как точка C лежит на оси абсцисс, то ордината b равна 0. Теперь наше основание треугольника AC может быть записано как отрезок между точками (4; 0) и (a; 0).
Расстояние между двумя точками на плоскости может быть вычислено с использованием теоремы Пифагора. В данном случае мы можем использовать эту теорему, чтобы найти длину основания AC.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:
d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Применим эту формулу для нахождения длины основания AC:
d₁ = sqrt((a - 4)² + (0 - 0)²)
Так как треугольник ABC - равнобедренный, то длина основания AC равна длине стороны AB. То есть:
d₁ = d₂
d₂ = sqrt((-1 - a)² + (2 - 0)²)
Мы знаем, что d₁ = d₂, поэтому мы можем приравнять выражения:
sqrt((a - 4)² + (0 - 0)²) = sqrt((-1 - a)² + (2 - 0)²)
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
(a - 4)² + (0 - 0)² = (-1 - a)² + (2 - 0)²
(a - 4)² = (-1 - a)² + 4
a² - 8a + 16 = 1 + 2a + a² + 4
a² - 8a + 16 = 5 + 2a
Перенесем все элементы в левую часть уравнения:
a² - 8a - 2a + 16 - 5 = 0
a² - 10a + 11 = 0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя методы, такие как разложение на множители, метод квадратного корня или формулу дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.
Формула дискриминанта для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 выглядит следующим образом:
D = b² - 4ac
Здесь a = 1, b = -10 и c = 11. Подставим значения в формулу:
D = (-10)² - 4 * 1 * 11
D = 100 - 44
D = 56
Дискриминант равен 56. Теперь можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
Подставим значения в формулу:
a = 1, b = -10 и D = 56
x₁ = (-(-10) + sqrt(56)) / (2 * 1)
x₁ = (10 + sqrt(56)) / 2
x₁ = (10 + 2sqrt(14))/2
x₁ = 5 + sqrt(14)
x₂ = (-(-10) - sqrt(56)) / (2 * 1)
x₂ = (10 - sqrt(56)) / 2
x₂ = (10 - 2sqrt(14))/2
x₂ = 5 - sqrt(14)
Таким образом, у нас есть два возможных значения a: a₁ = 5 + sqrt(14) и a₂ = 5 - sqrt(14).
Теперь нам нужно найти соответствующие значения b, чтобы найти сумму a + b.
Вершина C имеет координаты (a; b) и лежит на оси абсцисс, поэтому ордината b равна 0.
Таким образом, сумма a + b равна a + 0, что равно a.
Таким образом, сумма a + b для данной задачи равна a.
Ответ: сумма a + b равна a, где a может быть a₁ = 5 + sqrt(14) или a₂ = 5 - sqrt(14). Это зависит от того, какое значение a выберет ученик.