1. Фигура на плоскости, все точки которой обладают одним и тем же свойством, а ни одна из других точек плоскости этим свойством не обладает, называется геометрическим местом точек (г. м. т.) данного свойства на плоскости.
2. Биссектриса угла есть г. м. т., каждая из которых одинаково удалена от обеих сторон угла.
3. Серединный перпендикуляр— прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.
4. Перпендикуляр через середину отрезка есть г. м. т., каждая из которых одинаково удалена от концов отрезка.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам.
∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный.
МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.
ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9
BH=OH=9
MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34
№2
Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник).
Тогда высота МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см
АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см
№3.
В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см.
Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней.
S осн=АС•BC:2=18 см²
Грани АМС=ВМС по равенству катетов.
S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²
S AMB=MH•AB:2
AB=AC:sin45°=6√2
CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2
Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82
S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41
S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²
№4
S полн=Sбок+Sосн
Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.
МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см
∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см
Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²
Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²
Sполн=144+36√3=36(4+√3) см²
№5
Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.
Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1.
Угол А1ВА=60° (дано)
А1А=АВ•tg60°=5√3
Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²
Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²
1. Фигура на плоскости, все точки которой обладают одним и тем же свойством, а ни одна из других точек плоскости этим свойством не обладает, называется геометрическим местом точек (г. м. т.) данного свойства на плоскости.
2. Биссектриса угла есть г. м. т., каждая из которых одинаково удалена от обеих сторон угла.
3. Серединный перпендикуляр— прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.
4. Перпендикуляр через середину отрезка есть г. м. т., каждая из которых одинаково удалена от концов отрезка.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники, вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей.
Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, МН - апофема ( высота боковой грани).
Апофема делит сторону основания пополам. ВН=СН.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам.
∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный.
МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.
ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9
BH=OH=9
MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34
№2
Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник).
Тогда высота МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см
АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см
№3.
В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см.
Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней.
S осн=АС•BC:2=18 см²
Грани АМС=ВМС по равенству катетов.
S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²
S AMB=MH•AB:2
AB=AC:sin45°=6√2
CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2
Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82
S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41
S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²
№4
S полн=Sбок+Sосн
Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.
МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см
∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см
Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²
Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²
Sполн=144+36√3=36(4+√3) см²
№5
Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.
Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1.
Угол А1ВА=60° (дано)
А1А=АВ•tg60°=5√3
Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²
Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²
Sполн=(30+80√3) см²