Квадрат, вырезаемый из пластины, имеющей форму правильного треугольника, должен быть вписанным в нее, чтобы иметь наибольшую площадь. Любой другой будет иметь меньшую длину стороны.
Найдем сторону правильного треугольника, выразив ее из формулы площади правильного треугольника. 9√3=(a² √3):4 36√3=a²√3 a=√36=6 АС=6, НС=3 Пусть треугольник будет АВС, его высота -ВH, вписанный в него квадрат - ЕКМТ. Примем половину стороны квадрата равной х, тогда КМ=2х, Треугольники ВНС и КМС подобны - оба прямоугольные и имеют общий угол С. ВН=ВС*sin 60º=3√3 МС=НС-НМ=3-х Из подобия треугольников следует ВН:КМ=НС:МС (3√3):2х=3:(3-х) 6х=9√3-х*3√3 Сократим на 3 обе части уравнения 2х=3√3-х√3 2х+х√3==3√3 х(2+√3)=3√3 х=3√3 :(2+√3) Домножим числитель и знаменатель правой части уравнения на (2-√3) х=3√3 *(2-√3):(2+√3)*(2-√3) х=3√3 *(2-√3):(4-3) 2х=6√3 *(2-√3)=12√3-18
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями ВА₁С₁ и ВАD₁ Пусть ребра куба равны а. Тогда диагонали граней равны а√2 Плоскость ВАD₁ = прямоугольник ВАD₁С₁. Плоскость ВА₁С₁ - правильный треугольник со сторонами а√2 (диагонали граней куба). Искомый угол - угол между высотой А₁Н ( она ⊥ ВС₁) правильного треугольника ВА₁С₁ и средней линией ОН прямоугольника ВАD₁С₁ (она⊥ ВС₁). OA₁=AO= (a√2)/2_ 1) tg∠A₁HO=A₁O:OH=[a√2):2]:a=1/√2= 0,7071 - это тангенс угла 35º15’ или 2) sin ∠A₁HO=A₁O:A₁HA₁H=a√2*sin60º=1/√3=0,5773, это синус того же угла 35º15
Найдем сторону правильного треугольника, выразив ее из формулы площади правильного треугольника.
9√3=(a² √3):4
36√3=a²√3
a=√36=6
АС=6, НС=3
Пусть треугольник будет АВС, его высота -ВH, вписанный в него квадрат - ЕКМТ.
Примем половину стороны квадрата равной х, тогда КМ=2х,
Треугольники ВНС и КМС подобны - оба прямоугольные и имеют общий угол С.
ВН=ВС*sin 60º=3√3
МС=НС-НМ=3-х
Из подобия треугольников следует
ВН:КМ=НС:МС
(3√3):2х=3:(3-х)
6х=9√3-х*3√3
Сократим на 3 обе части уравнения
2х=3√3-х√3
2х+х√3==3√3
х(2+√3)=3√3
х=3√3 :(2+√3)
Домножим числитель и знаменатель правой части уравнения на (2-√3)
х=3√3 *(2-√3):(2+√3)*(2-√3)
х=3√3 *(2-√3):(4-3)
2х=6√3 *(2-√3)=12√3-18
Р=4*(12√3-18)=48√3-72
Пусть ребра куба равны а.
Тогда диагонали граней равны а√2
Плоскость ВАD₁ = прямоугольник ВАD₁С₁.
Плоскость ВА₁С₁ - правильный треугольник со сторонами а√2 (диагонали граней куба).
Искомый угол - угол между высотой А₁Н ( она ⊥ ВС₁) правильного треугольника ВА₁С₁ и средней линией ОН прямоугольника ВАD₁С₁ (она⊥ ВС₁).
OA₁=AO= (a√2)/2_
1) tg∠A₁HO=A₁O:OH=[a√2):2]:a=1/√2= 0,7071 - это тангенс угла 35º15’
или
2) sin ∠A₁HO=A₁O:A₁HA₁H=a√2*sin60º=1/√3=0,5773, это синус того же угла 35º15