Теорема , обратная теореме Пифагора " Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный."
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. Окружность радиуса 8 - вневписанная, касается сторон двух углов - А и С, ее центр лежит на пересечении биссектрис этих углов, смежных с углами А и С ∆ АВС соответственно,⇒ СО - биссектриса и делит угол НСК пополам. . Центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит в точке пересечения биссектрис. ВН и СО₁- биссектрисы. СО₁ делит угол ВСН пополам. АСК - развернутый угол и равен 180º Сумма половин углов АСН и ОСН равна половине развернутого угла. Угол ОСО₁=180°:2=90°⇒ ∆ ОСО₁ - прямоугольный с прямым углом С. АН - высота и медиана равнобедренного треугольника АВС, следовательно, делит основание АС на два равных отрезка: СН=АН=6. СН ⊥ АН⇒ является высотой треугольника ОСО₁.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;⇒
Даны точки A (-10;3), B (2;9), C (3;7).
Запишите уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.
Объяснение:
1)Найдем длины сторон ( вдруг треугольник равносторонний).
АВ=√( (2+10)²+(9-3)²)=√180 ,
ВС=√( (3-2)²+(7-9)²)=√(1+4)=√5 ,
АС=√( (3+10)²+(7-3)²)=√(169+16)=√185. Наибольшая сторона АС.
Проверим т. обратную теореме Пифагора :
АС²=(√185)²=185 и АВ²+ВС²=(√180)²+(√5)²=180+5=185. Ура
185=185⇒ΔАВС-прямоугольный , с гипотенузой АВ.
2)Центр О(х;у) описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Найдем координаты О
х(О)=( (х(А)+х(В) ):2 , х(О)=(-10+2):2=-4,
у(О)=( (у(А)+у(В) ):2 , у(О)=(3+9):2=6, центр О(-4;6).
Радиус окружности r=1/2*AB , r=1/2*√185.
3) (x +4)²+ (y – 6)² = (1/2*√185)² , (x +4)²+ (y – 6)² = 46,25
Теорема , обратная теореме Пифагора " Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный."
Уравнение окружности (x – х₀)²+ (y – у₀)² = R² , где (х₀; у₀)-координаты центра.
СО - биссектриса и делит угол НСК пополам. .
Центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит в точке пересечения биссектрис. ВН и СО₁- биссектрисы.
СО₁ делит угол ВСН пополам.
АСК - развернутый угол и равен 180º
Сумма половин углов АСН и ОСН равна половине развернутого угла.
Угол ОСО₁=180°:2=90°⇒
∆ ОСО₁ - прямоугольный с прямым углом С.
АН - высота и медиана равнобедренного треугольника АВС, следовательно, делит основание АС на два равных отрезка:
СН=АН=6.
СН ⊥ АН⇒ является высотой треугольника ОСО₁.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;⇒
СН²=ОН•HO₁
36=8 HO₁
HO₁=36/8=4,5 (ед. длины)