на основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены Точки M и N Так что BM равняется CN Докажите что треугольник a.m.n. равнобедренный​

Техническое решение, я обычно такие не выкладываю, но эта задача тут столько раз встречалась...
Основания a и b, искомая линия m, расстояние от a до b (высота трапеции) H, расстояние от a до m  - h;
(a + m)*h/2 = (1/2)*(a+b)*H/2;
(b + m)*(H - h)/2 = (1/2)*(a + b)*H/2;
h = H*(a + b)/(2*(a + m)); 
(b + m)*H*(1 - (a + b)/(2*(a + m))) = (a + b)*H/2;
(b + m)*(a + m - (a + b)/2) = (a + b)*(a + m)/2;
(b + m)*(a + m) = (a + b)*(a + b + 2*m)/2 = m*(a + b) + (a + b)^2/2;
m^2 + m*(a + b) + a*b = m*(a + b) + (a + b)^2/2;
m^2 = (a^2 + b^2)/2;
это ответ, ну корень извлечь легко, если что... У результата есть смешной геометрический смысл - площадь квадрата со стороной m равна полусумме площадей квадратов со сторонами a и b.

Указанные углы  равны как внутренние накпест лежащие. И  углы деленные бессектрисой. Откуда  треугольник ABK  Равнобедренный. (то его  бессектриса и нго  высота)
 опусуаем вс перпендикуляры. Откуда египетский  прямоугольный треугольник и высота равна 3.
Далее чтобы не находить  половинный угол  сделаем элегантное  построение продолжив нижнее основание  и опустив высоту в точку k 
Откуда по  теореме пифагора AK=sqrt(9+81)=sqrt(90)
Тк бессектриса и медиана  то  по теореме пифагора ищем нашу бессектрису: x=sqrt(25-90/4)=sqrt(10)/2
ответ:sqrt(10)/2