На отрезке АВ как на диаметре, построена окружность. Точкой C дуга АB разбивается на две части, причем градусная мера дуги AC на 30° меньше градусной меры дуги BC. Найдите градусную меру дуги BC. ответ дайте в градусах

А тут и нет "красивого" решения - треугольник НЕ Пифагоров, катеты не выражаются целыми числами.

Известно, что

a^2 + b^2 = 44^2;

a - b = 31; 

Если второе возвести в квадрат, то

a^2 + b^2 - 2*a*b = 31^2;

2*a*b = 44^2 - 31^2;

Если это прибавить к первому уравнению, то 

(a + b)^2 = 2*44^2 - 31^2; 

a + b = √(2*44^2 - 31^2) = √2911;

Ну, и

r= (a + b - c)/2 = (√2911 - 44)/2; это ответ

Число 2911 является произведением двух простых чисел 41 и 71, поэтому ответ не может быть упрощен.

Скорее всего, ошибка в условии - гипотенуза равна 41, а не 44. Тогда треугольник Пифагоров со сторонами 9, 40, 41 и r = 4 

Пусть Н - высота пирамиды. Sosn - площадь основания, Sboc - боковой, S - площадь всей поверхности, S = Socn + Sboc; V - объем, r - радиус вписанного шара.

Sboc*cosb = Socn;

S = Socn*(1 + 1/cosb); 

V = Socn*H/3; Socn = 3*V/H;

S = (3*V/H)*(1 + 1/cosb);

H/(1 + 1/cosb) = 3*V/S; 

Справа стоит радиус вписанного шара, потому что

V = r*S/3;

Если это не понятно - соедините мысленно центр шара с вершинами и сложите объемы всех полученных при этом пирамид с высотами, равными r, и боковыми гранями в качестве оснований.

r = H/(1 + 1/cosb);

Осталось вычислить высоту пирамиды.

Если через высоту провести плоскость перпендикулярно стороне основания, то получится прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. Острый угол этого треугольника равен b. Проекция апофемы равна m = (a/2)*ctg(π/n), где n = 5; (это расстояние от центра основания до стороны) при этом H = m*tgb;

r = m*tgb/(1+1/cosb) = m*sinb/(1 + cosb) = (a/2)*ctg(π/n)*sinb/(1 + cosb); 

r = (a/2)*ctg(π/5)*sinb/(1 + cosb); это ответ. 

Как выразить функции углов, кратных 18 градусам, в радикалах - это отдельная задача. В данном случае нет смысла ее решать - все равно угол b не задан.