На плоскости даны две окружности, одна из которых располагается строго внутри другой. Какие из следующих ситуаций возможны? радикальная ось пересекает обе окружности

радикальная ось пересекает одну из окружностей
радикальная ось не пересекает ни одну из окружностей
радикальная ось не существует​

Жирным шрифтом обозначены вектора, скалярные величины обозначены обычными шрифтом.

Пусть есть три некомпланарных вектора a b c, являющиеся "боковыми" ребрами тетраэдра из условия задачи (в том смысле, что все три имеют общее начало в вершине).

Попарные векторные произведения этих векторов дают векторы, перпендикулярные граням. Поскольку все грани равны, то эти векторные произведения имеют одинаковую абсолютную величину - удвоенную площадь грани. Приняв эту удвоенную площадь грани за единицу измерения площади (это никак не ограничивает общность), можно считать нормальные вектора cxb = n₁; bxa = n₂; axc = n₃; единичными векторами.

Я выбрал порядок в произведениях векторов так, чтобы они "торчали" наружу пирамиды. Уже сейчас стоит обратить внимание, что в этом случае двугранные углы при ребрах составляют 180° в сумме с углами между так выбранными нормалями. Поэтому косинусы углов будут равны по величине, но противоположного знака.

Осталась еще четвертая грань. её ребрам соответствуют вектора a₁ = b - c; b₁ = c - a ; c₁ = a - b; причем длины векторов a₁ = a; b₁ = b; c₁ = c; так как четвертая грань равна трем "боковым". Если теперь построить нормальный вектор аналогично трем предыдущим (то есть так, чтобы он смотрел наружу тетраэдра), то

n₄ = - (с - a)x(b - c) = - bxa - cxb - axc = -(n₁ + n₂ + n₃);

или n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 0; (что само по себе - абсолютно замечательный результат).

пусть Σ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₁n₄ + n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄; сумма всех скалярных произведений между нормалями. Для того, чтобы доказать утверждение в задаче, нужно показать, что Σ = - 2; (каждое из произведений равно "минус косинус" угла при ребре между парами граней, заданных нормалями; я напомню, что все нормальные вектора - единичные, то есть равны 1 по модулю)

Я слегка переписываю это выражение Σ  = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ + (n₁ + n₂ + n₃)n₄ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ - n₄n₄ = n₁n₂ + n₁n₃ + n₂n₃ - 1;

Однако все грани тетраэдра равноценны, и аналогично можно записать

Σ  = n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄ - 1;

Σ  = n₃n₄ + n₃n₁ + n₄n₁ - 1;

Σ  = n₁n₂ + n₁n₄ + n₂n₄ - 1;

Если сложить все четыре равенства, то получится

4Σ  = 2(n₁n₂ + n₁n₃ + n₁n₄ + n₂n₃ + n₂n₄ + n₃n₄) - 4;

4Σ = 2Σ - 4; Σ = -2 чтд. :)

Точки A и B имеют координаты (1,5) и (4,4) соответственно.

Находим разность координат точек В и А по осям:

Δх = 4 - 1 = 3, Δу = 4 - 5 = -1. к(АВ) = -1/3.

Для перпендикулярных сторон АД и ВС квадрата угловые коэффициенты к = -1/(к(АВ).

Значит, для точки С по отношению к точке В Δх = - 1 , Δу = -3.

Координаты точки С: х = 4 - 1 = 3, у = 4 - 3 = 1.

Аналогично для точки Д по отношению к точке А Δх = - 1 , Δу = -3.

Координаты точки Д: х = 1 - 1 = 0, у = 5 - 3 = 2.

Длина АВ = √((Δх)² + (Δу)²) = √(9 + 1) =√10.

Площадь квадрата S = AB² = 10 кв.ед.