На проективной плоскости задан репер R(A0, A1, A2, E). Точка Eα - проекция
точки E из вершины Aα на сторону (AβAν) координатного треугольника A0A1A2(α, β, ν = 0, 1, 2; все
различны). Доказать, что три точки Mν = (EαEβ) ∩ (AαAβ) лежат на одной прямой d и являются
четвертыми гармоническими к тройкам (Aα, Aβ, Eν). Найти координаты прямой d в репере R.

Высота правильной пирамиды проецируется точно в центр основания, которым в данном случае является правильный треугольник. Высота, боковое ребро и отрезок, соедияющий центр основания с его вершиной, образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой, и ее можно найти, используя теорему Пифагора. Но нам неизвестен катет - тот самый отрезок между центром и вершиной основания. Обратим вниание, что этот отрезок является радиусом окружности, описанной вокруг основания-треугольника. Радиус описанной окружности можно вычислить по формуле: R = a(3^0,5)/3, где а - сторона треугольника, (3^0,5) - корень из трех. В нашем случае радиус равен: R = 6(3^0,5)(3^0,5)/3 = 63/3 = 6. Боковая грань равна: (3^2 + 6^2)^0,5 = (9 + 36)^0,5 = 45^0,5 = 35^0,5 (три корня из пяти). Так что задачу ты решила верно и без моей не стоило беспокоиться. :)

Обозначим через х длину того катета данного прямоугольного треугольника, который составляет с гипотенузой угол в 30°, а через у — длину второго катета.

Используя формулы сторон прямоугольного треугольника, выразим через х длину второго катета:

у = х * tg( 30°) = x * √3.

Согласно условию задачи, площадь данного прямоугольного треугольника равна 32√3.

Поскольку площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, следовательно, можем составить следующее уравнение:

х * х * √3 / 2 = 32√3.

Решаем полученное уравнение:

х² = 32√3 / (√3/2);

х² = 64;

х = 8.

Зная длину первого катета, находим длину второго:

у = x * √3 = 8√3.

Используя теорему Пифагора, находим длину гипотенузы:

√(8² + (8√3)²) = √(64 + 64 * 3) = √(64 * 4) = 8 * 2 = 16.

ответ: длина гипотенузы равна 16.