На ребрах AD и BB1
прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1
, у которого
AB:AD:
AA1=1:2:2, взяты соответственно точки E и F- середины этих ребер. Найдите углы
и расстояния, которые образует прямая EF со следующими прямыми: 1) DC; 2)DC1; 3)AC1; 4) BD; 5)DB1; 6)D1C .

4. S ADEC = S ABC - S DBE
Площадь трапеции = площадь всего треугольника - площадь маленького треугольника
Нам известна площадь треугольника ABC. Треугольники ABC и DBE подобны по 3 углам, коэффициент подобия = 0,5, т.к. AB и BC делятся пополам. Применяем теорему о площадях подобных треугольников:
S DBE = 0,5^2 * S ABC = 0,25 * 12 = 3 см^2
Подставляем в общую формулу, получаем 9 см^2

5. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, синус - противолежащего катета к гипотенузе.
Рисуем равнобедренный треугольник, достраиваем перпендикуляр к AC из угла B. Он делит AC пополам (так как является медианой)
Cos A = AD / AB
Sin ABD = AD / AB
значение AB должно даваться

Условие намеренно содержит обман. На самом деле, если продлить стороны основания - сторону CD за D на 2 - точка D1, сторону СВ за В на 2 - точка B1, и провести А1В1 II CD и A1D1 II BC, то A1B1CD1 - квадрат со стороной 6, Н - его центр, и пирамида A1B1CD1S - правильная, точка S проектируется в центр основания Н. При этом плоскость основания и плоскость грани SBC совпадают с плоскостями A1B1CD1 и SB1C. То есть вся задача состоит в том, чтобы найти угол наклона боковой грани в правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания 6 и высотой 3. 
Эта задача совершенно элементарная. 
В самом деле, если из точки Н на В1С опустить перпендикуляр НМ, то НМ = CD1/2 = 3, и треугольник SHM - прямоугольный равнобедренный, поэтому искомый угол равен 45°