На рисунке 67 ав=вс, сd=de. докажите, что

Координаты середины отрезка

Расстояние между точками

А(-4;-4), B(-4;2), C(4;2), D(8;-4)

MN - средняя линия трапеции.

M - середина AB

M( (-4+(-4))/2 ; (-4+2)/2 ) = M(-4;-1)

N - середина CD

N( (4+8)/2 ; (2+(-4))/2 ) = N(6;-1)

|MN|= √( (6-(-4))^2 + (-1-(-1))^2 ) =√(100+0) =10

Точки A и D имеют равные координаты по оси Y => AD||X'X (отрезок AD параллелен оси X)

Аналогично BC.

Основания параллельны оси X.

Точки A и B имеют равные координаты по оси X => AB⊥X'X (отрезок AB перпендикулярен оси X)

AB - высота трапеции.

|AB|= √( (-4-(-4))^2 + (2-(-4))^2 ) =√(0+36) =6

S(ABCD) =MN*AB =10*6 =60

Чтобы рисунок соответствовал условию задачи, воспользуемся для его построения окружностями с центром в точке А и радиусом АВ,
 и с центром в точке D и радиусом СD. 
Обозначим середину ВС буквой М. 
Нужно доказать, что биссектриса угла D пересекает ВС в точке М. 
По условию АD=АВ+СD, следовательно, АВ=АК, КD=СD 
Треугольник АВК равнобедренный, АЕ - биссектриса, ⇒ 
АЕ- ещё и высота,  и медиана. 
Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена⇒  
угол ВЕА=∠АЕК=90º. 
Δ АDС равнобедренный, биссектриса DН- его высота и медиана. ⇒ 
угол СНD=∠КНD=90º. 
В треугольнике КВС  отрезки ВМ=МС по условию 
КН=НС, т.к. DН - медиана,
 ВЕ=ЕК, т.к. АЕ - медиана⇒
МН - средняя линия. и  ЕМ- средняя линия 
ЕМ=КН, МН=ЕК, ⇒
МН||ВК  и 
ЕМ||КН 
∠МЕК=90º как смежный с ∠AEK, поэтому 
∠ЕМН=90º как соответственный ∠ВЕМ при  прямых MH||ВК и секущей МЕ. 
Четырехугольник ЕМНК - прямоугольник. . 
Через одну точку на прямой можно провести только один перпендикуляр. ⇒
НМ - продолжение DН. ⇒
 Биссектриса DМ угла  D  проходит через середину  стороны ВС, ч.т.д.