На рисунке MN || AC. А) Докажите, что AB : BM = BC : BN. Б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 12 см.

ответ: V=6000см³; Sсеч=400см²; Sосн=300см²; Sбок.пов=1600см²;

Sпол=2200см², высота=20см

Объяснение: найдём площадь основания параллелепипеда. Диагональ ВД делит основание на 2 равных треугольника, в которых известны стороны. Рассмотрим полученный ∆АВД. В нём АВ=15см, ВД=20см, АД=25см. Найдём периметр этого треугольника:

Р=15+20+25=60см; р/2=60/2=30см.

Найдём площадь ∆АВД по формуле:

S∆АВД=√((р(р-АВ)(р-ВД)(р-АД))=

=√((30(30-15)(30-20)(30-25))=

=√(30×15×10×5)=√22500=150см²

S∆АВД=S∆ВСД=150см²

Зная площади 2-х треугольников, найдём площадь основания АВСД:

Sосн=150×2=300см².

Так как диагональное сечение параллелепипеда - квадрат, то

ВД=В1Д1=ВВ1=ДД1=20см

Площадь диагонального сечения:

Sсеч=20²=400см²

ВВ1, ДД1, АА1, СС1 также являются высотами параллелепипеда, поэтому мы може найти площадь каждой боковой грани по формуле прямоугольника:

Sбок.гр.АА1ДД1=АД×АА1=25×20=500см²

Sбок.гр.АА1ДД1=Sбок.грВВ1СС1=500см²

Sбок.гр.АА1В1В=Sбок.гр.ДД1С1С=

=15×20=300см²

Так как каждой грани по 2 найдём площадь боковой поверхности параллелепипеда:

Sбок.пов=500×2+300×2=1000+600=

=1600см²

Площадь полной поверхности параллелепипеда- это сумма всех площадей его граней:

Sпол=Sбок.пов.+ S2-х.осн=1600+300×2=

=1600+600=2200см²

Теперь найдём объем параллелепипеда по формуле: V=Sосн×АА1=300×20=6000см³

Ромб ABCD.

AS = 5; BD = 6; OA = 4.

AS ⊥ ABCD.

AC ∩ BD = O.

S ΔBSD = ? ед.кв.

Соединим точки S и D; точки S и B. Образовалось два отрезка - SD и SB, благодаря которым, мы получили ΔBSD на данной плоскости.

Проведём высоту SO ΔBSD так, что SO ⊥ BD.

Т.к. AS ⊥ ABCD ⇒ ΔASO - прямоугольный.

Найдём высоту SO ΔBCD, по теореме Пифагора (c = √(a² + b²), где c - гипотенуза, a и b - катеты):

SO = √(OA² + AS²) = √(4² + 5²) = √(16 + 25) = √41 ед.

S ΔBSD = 1/2BD * SO = 1/2 * 6 * √41 = 3√41 ед.кв.