Совершим параллельный перенос точки A вдоль прямой AB к середине AB. Обозначим ее как N. Поскольку AB || CD, а CD⊂(SCD), расстояние от A до (SCD) равно расстоянию от точки N до плоскости (SCD). На грани SCD проведем апофему (высоту из S). Она пересечет CD в точке M. Точка M является серединой CD, так как пирамида правильная (из этого следует, что SCD равнобедренный). NM || AD. Соответственно, в полученном треугольнике SNM высота из N на сторону SM будет являться перпендикуляром из N на плоскость (SCD), то есть длина высоты в треугольнике SNM из вершины N является искомым расстоянием. Рассмотрим треугольник SNM. Это равнобедренный треугольник, где SN = SM. Пусть O - проекция вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды. Так как пирамида правильная, O является серединой NM, а SO - высотой треугольника SNM из вершины S. По условию, SO = 4 см, AD = 6 см. Так как AD = NM = 2OM, то OM = 6 см / 2 = 3 см. Из прямоугольного треугольника SOM находим SM: SM = √(SO²+OM²) = 5 см. Пусть искомое расстояние равно h. Площадь треугольника SNM найдем двумя 1) S = 1/2 * SO * NM 2) S = 1/2 * h * SM Приравняем их и выразим h: h = SO * NM / SM = 4 см * 6 см / 5 см = 4.8 см.
(1) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. (2) Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, равен 2xy/(x+y) - среднему гармоническому длин оснований трапеции и делится этой точкой пополам (формула Буракова). Итак, из (1) (AD-BC)=40, а BC=(2/3)*AD (дано). Отсюда AD=120, BC=80. Из (2) КО=(2*80*120/200):2=48. Высоту трапеции СМ найдем так: проведем из вершины С прямую СN, параллельную стороне АВ трапеции. тогда в треугольнике NCD NC=AB=24(противоположные стороны параллелограмма), CD=32, а ND=AD-BC=40. Найдем площадь треугольника NCD по Герону: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. В нашем случае S=√(48*24*16*8)=√147456=384. Высота треугольника, проведенная к основанию с: h=2S/с. У нас СМ=2*384/40 = 19,2. Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке S. По свойству трапеции точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Следовательно, искомый отрезок ОТ лежит на прямой SG. Высота треугольника ASD: SF=SE+EF, где EF=СМ - высота трапеции. AS/BS=AD/BC=3/2 (дано). Тогда BS/AB=ES/EF=2/1 (так как АB=AS-BS) и BS=2*AB=48, а ES=2*EF=38,4. ВЕ=√(48²-38,4²)=√(9,6*86,4)=28,8. ET=40-28,8=11,2 ST=√(11,2²+38,4²)=√1600=40. Тогда из подобия треугольников КSO и BSTимеем: BT/KO=ST/SO=40/48 и SO=48. Тогда ТО=SO-ST=48-40=8. ответ: расстояние между точкой пересечения диагоналей трапеции и серединой меньшего основания равно 8.
Еще один вариант решения: Из (1) и (2) находим AD=120, BС=80, КО=48. Проведем CN параллельно АВ. В треугольнике NСD стороны равны 24,32 и 40, то есть их отношение равно 3:4:5, а это значит, что треугольник NCD прямоугольный (Пифагоров треугольник) и против большей стороны (гипотенуза) лежит угол, равный 90° Итак, <NCD=90°. Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке S. По свойству трапеции точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Следовательно, искомый отрезок ОТ лежит на прямой SG. Но <ASD=90° (так как AS параллельна NC). Следовательно, SG - медиана прямоугольного треугольника ASD и равна половине гипотенузы AD, как и SO - медиана прямоугольного треугольника KSH и равна половине гипотенузы KH (свойство медианы прямоугольного треугольника) . Тогда SG=60, ST=2*60/3=40 (из подобия ASD и BSC), SO=KO=48. Значит ТО=SO-ST=48-40=8.
Или так: треугольники ВОС и ОРQ подобны с коэффициентом подобия ВС/PQ=80/20=4/1. ТR=(1/2)*TG=(1/2)*(SG-ST)=(1/2)*(60-40)=10. TR=TO+OR, а TO/OR=4/1. Значит ТО=(10/5)*4 = 8. Выбирайте любой вариант.
Рассмотрим треугольник SNM. Это равнобедренный треугольник, где SN = SM. Пусть O - проекция вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды. Так как пирамида правильная, O является серединой NM, а SO - высотой треугольника SNM из вершины S. По условию, SO = 4 см, AD = 6 см. Так как AD = NM = 2OM, то OM = 6 см / 2 = 3 см. Из прямоугольного треугольника SOM находим SM: SM = √(SO²+OM²) = 5 см.
Пусть искомое расстояние равно h. Площадь треугольника SNM найдем двумя
1) S = 1/2 * SO * NM
2) S = 1/2 * h * SM
Приравняем их и выразим h:
h = SO * NM / SM = 4 см * 6 см / 5 см = 4.8 см.
(2) Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, равен 2xy/(x+y) - среднему гармоническому длин оснований трапеции и делится этой точкой пополам (формула Буракова).
Итак, из (1) (AD-BC)=40, а BC=(2/3)*AD (дано). Отсюда AD=120, BC=80.
Из (2) КО=(2*80*120/200):2=48.
Высоту трапеции СМ найдем так: проведем из вершины С прямую СN, параллельную стороне АВ трапеции. тогда в треугольнике NCD NC=AB=24(противоположные стороны параллелограмма), CD=32, а ND=AD-BC=40. Найдем площадь треугольника NCD по Герону:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. В нашем случае S=√(48*24*16*8)=√147456=384. Высота треугольника, проведенная к основанию с:
h=2S/с. У нас СМ=2*384/40 = 19,2.
Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке S. По свойству трапеции точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Следовательно, искомый отрезок ОТ лежит на прямой SG. Высота треугольника ASD: SF=SE+EF, где EF=СМ - высота трапеции.
AS/BS=AD/BC=3/2 (дано). Тогда BS/AB=ES/EF=2/1 (так как АB=AS-BS) и BS=2*AB=48,
а ES=2*EF=38,4.
ВЕ=√(48²-38,4²)=√(9,6*86,4)=28,8. ET=40-28,8=11,2
ST=√(11,2²+38,4²)=√1600=40. Тогда из подобия треугольников КSO и BSTимеем: BT/KO=ST/SO=40/48 и SO=48.
Тогда ТО=SO-ST=48-40=8.
ответ: расстояние между точкой пересечения диагоналей трапеции и серединой меньшего основания равно 8.
Еще один вариант решения:
Из (1) и (2) находим AD=120, BС=80, КО=48.
Проведем CN параллельно АВ. В треугольнике NСD стороны равны 24,32 и 40, то есть их отношение равно 3:4:5, а это значит, что треугольник NCD прямоугольный (Пифагоров треугольник) и против большей стороны (гипотенуза) лежит угол, равный 90° Итак, <NCD=90°.
Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке S. По свойству трапеции точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Следовательно, искомый отрезок ОТ лежит на прямой SG. Но <ASD=90° (так как AS параллельна NC).
Следовательно, SG - медиана прямоугольного треугольника ASD и равна половине гипотенузы AD, как и SO - медиана прямоугольного треугольника KSH и равна половине гипотенузы KH (свойство медианы прямоугольного треугольника) . Тогда SG=60, ST=2*60/3=40 (из подобия ASD и BSC), SO=KO=48. Значит ТО=SO-ST=48-40=8.
Или так: треугольники ВОС и ОРQ подобны с коэффициентом подобия ВС/PQ=80/20=4/1. ТR=(1/2)*TG=(1/2)*(SG-ST)=(1/2)*(60-40)=10. TR=TO+OR, а TO/OR=4/1.
Значит ТО=(10/5)*4 = 8.
Выбирайте любой вариант.