На сторонах A
C
и
B
C
треугольника
A
B
C
отметили соответственно точки
M
и
K
так, что
C
M
=
1
5
см
,
C
K
=
1
2
см
.

Найдите отрезок
M
K
, если
A
C
=
2
5
см
,
B
C
=
2
0
см
,
A
B
=
3
0
см
.
Укажите правильный вариант ответа:
1
8
см
1
4
см
1
6
см
1
2
см

Показать ответ

Ответ:

НикаКолядина2000

23.03.2023 10:20

Пусть дан один равнобедренный треугольник и второй равнобедренный треугольник АВС с равными углам при основаниях, следовательно, и третий угол при вершине одного треугольника равен третьему углу второго.

Эти треугольники подобны. В подобных треугольниках все их элементы пропорциональны, следовательно, точка пересечения биссектрисы угла при основании с высотой второго треугольника делит ее в том же отношении, что в первом, т.е. 5:3

Высота ВН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и биссектрисой и медианой. АН=НС.

Имеем две биссектрисы треугольника АВС, которые пересекаются в некой точке О. Точка О пересечения биссектрис треугольника АВС является центром вписанной в него окружности.

Из точки О проведем перпендикуляры ОМ и ОК к боковым сторонам треугольника. М, К и Н - точки касания окружности и сторон треугольника.

ОМ=ОК=ОН= радиусу вписанной окружности.

Пусть коэффициент отношения отрезков высоты равен х.

Тогда ВО=5х, ОН=3х, ОМ=ОК=3х

Треугольники ВОМ и ВОК - египетские,т.к. катет и гипотенуза относятся как 3:5 ⇒

ВМ=ВК=4х ( можно проверить по т.Пифагора)

ВН=3х+5х=8х

Треугольники ВМО и ВНА - подобные, т.к. оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Следовательно, треугольник ВНА тоже египетский, и из отношения сторон такого треугольника следует

АВ=10х, АН=6х. Или из подобия треугольников через отношение сходственных сторон

ВН:ВМ=АН:ОМ

ВН=3х+5х=8х

8х:4х=АН:МО

АН:МО=2

АН=6х

АВ=ВС=5*2=10х

ВН - медиана, поэтому

АС=6х+6х=12х

Периметр треугольника равен АВ+ВС+АС=48

Р=10х+10х+12х=32х

32х=48