На сторонах А В , ВС і АС рівностороннього трикутника АВС позначили відповідно точки М , N і К так, що ВИ = 2ИС,СК = 2АК і МК ПАРАЛЕЛЬНО ИК . Доведіть, що Мn = 2АМ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. В правильном треугольнике биссектриса это ещё медиана и высота. Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Таким образом радиус (r) вписанной окружности это треть от высоты треугольника.

Высота (h) правильного треугольника со стороной 18см:

h = 18·sin60° = 18·(√3)/2 = 9√3 см

r = h/3 = (9√3)/3 = 3√3 см

ответ: 3√3 см.

Можно так же вывести формулу связи радиуса (r) вписанной в правильный треугольник окружности и стороны (а) треугольника.

Обозначим диагонали ромба 5х и 2х. Диагональ параллелепипеда D1 = 17, образует с диагональю ромба 5х и высотой параллелепипеда Н прямоугольный тр-к с гипотенузой, равной D1. Тогда по теореме Пифагора:

Н² = D1² - (5x)²    (1)

Аналогично для диагонали параллелепипеда D2 = 10:

Н² = D2² - (2x)²    (2)

Приравняем правые части уравнений

D1² - (5x)² = D2² - (2x)²

17² - 25х² = 10² - 4х²

21х² = 289 - 100

21х² = 189

х² = 9

х = 3

Тогда диагонали ромбв:

5х = 15

2х = 6

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей

Sосн = 0,5·15·6 = 45.

Найдём высоту параллелепипеда Н из уравнения (1)

Н² = D1² - (5x)² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64

Н = 8

Объём параллелепипеда:

V = Sосн ·Н = 45·8 = 360.