На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки K и N. O – точка пересечения отрезков AN и CK. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников AOK, AOC и NOC равны соответственно 2, 6 и 3.

Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 122). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть О — точка их пересечения.Равенство противолежащих сторон АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА = ОС и OB—OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — AD и ВС.Равенство противолежащих углов ABC и CDA следует из равенства треугольников ABC и CD А (по трем сторонам). У них AB=CD и BC=DA по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью. 

Боковые стороны трапеции лежат на прямых a и b. Эти прямые не параллельны и лежат в одной плоскости, значит, они пересекаются. Тогда через эти прямые можно провести единственную плоскость, обозначим её за β. Плоскость β и будет плоскостью трапеции, так как все 4 вершины трапеции лежат на прямых a и b и лежат в β. 

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Из того, что прямая a параллельна плоскости α, следует, что в плоскости α существует прямая a', такая, что a || a'. Аналогично, из параллельности b и α следует, что в α существует прямая b', такая, что b || b', При этом a' и b' не совпадают, так как a и b не параллельны.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Из того, что a || a' и b || b' и того, что a и b пересекаются, следует, что α || β, что и требовалось доказать.