На сторонах AC і BC трикутника АВС позначено відповідно точки M і К. Відомо, що АМ=ВС=4, АВ=7, АС=5, ВК=КС. Знайдіть:
1) косинус кута ABC
2) довжину відрізка MK
Перевод на русский язык:
На сторонах AC и BC треугольника АВС отмечены соответственно точки M и К. Известно, что АМ = ВС = 4, АВ = 7, АС = 5, ВК = КС. Найдите:
1) косинус угла ABC
2) длину отрезка MK
За спам буду жаловаться!
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².
2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.
Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ - правильная усеченная пирамида. А₁К=С₁Н=7 см, АВ=ВС=СД=АД=12 см; А₁В₁=В₁С₁=С₁Д₁=А₁Д₁=4 см. Найти АА₁.
АС - диагональ нижнего основания. По теореме Пифагора
АС² = АД² + СД² = 144 + 144 = 288. АС = 12*√2 см.
А₁С₁ - диагональ меньшего основания. По теореме Пифагора
А₁С₁² = А₁Д₁² + С₁Д₁² = 16 + 16 = 32. А₁С₁ = 4*√2 см.
АА₁С₁С - равнобедренная трапеция, где А₁Н и С₁К - высоты.
А₁Н = С₁К = ОО₁ = 7 см.
КН = А₁С₁ = 4√2 см
Прямоугольные треугольники АА₁К и СС₁Н равны по гипотенузе и катету, тогда АК = СН.
АС = КН + 2 АК.
АК = (АС – КН) / 2 = (12√2 - 4√2) / 2 = 4√2 см.
Рассмотрим Δ АА₁К, где АА₁ - гипотенуза. По теореме Пифагора
АА₁² = А₁К² + АК² = 49 + 32 = 81. АА₁ = 9 см.
ответ: 9 см.