На сторонах АС і ВС трикутника АВС позначено точки K i F відповідно. Відрізки AF i CK перетинаються у точці О. Відомо, що OK=OF, кут OAC=куту ОСА. Доведіть, що точки В, О і середина відрізка АС лежать на одній прямій.

Обозначим вершины оснований нижнего АВС, верхнего соответственно А1В1С1. Проведем высоты треугольников АD и A1D1.Проведем ось симметрии (ось вращения) пирамиды О1О. ОтметимРассечем пополам пирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через соответствующие высоты оснований. В сечении получим неравнобочную трапецию. Более длинная боковая сторона - это боковое ребро пирамиды, и угол между нею и большим основанием трапеции равен 45° (это угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды). Более короткая боковая сторона пирамиды - это апофема боковой грани пирамиды. Основания трапеции - это высоты оснований, и они равны соответственно 5*√(3)/2 и 7*√(3)/2
 

Поскольку боковая грань пирамиды это тоже трапеция (равнобочная, но это не имеет значения), то эта апофема является высотой трапеции.

Усеченная пирамида АВСА1В1С1, в основаниях правильные треугольники АВС и А1В1С1, АС=7, А1С1=5, ОО1-высота пирамиды, О и О1 -центры треугольников, - пересечение высот=медиан=биссектрис, проводим высоты ВН и В1Н1, проводим апофему Н1Н, треугольник АВС, ВН=АС*корень3/2=7*корень3/2, треугольник А1В1С1, В1Н1=А1С1*корень3/2=5*корень3/2, при пересечении медианы делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО=2/3ВН=(2/3)*((7*корень3/2)=7*корень3/3, ОН=1/3ВН=(1/3)*(7*корень3/2)=7*корень3/6, треугольник А1В1С1, В1О1=2/3*В1Н1=(2/3)*(5*корень3/2)=5*корень3/3, О1Н1=1/2В1Н1=(1/3)*(5*корень3/2)=5*корень3/6, прямоугольная трапеция О1В1ВО, уголВ1ВО=45, проводим высоту В1К на ВО, ОО1В1К прямоугольник ОК=О1В1=5*корень3/3, КВ=ВО-ОК=7*корень3/3-5*корень3/3=2*корень3/3, треугольник КВ1В равнобедренный, угол КВ1В=90-45=45, КВ=В1К=О1О=2*корень3/3, рассматриваем прямоугольную трапецию О1ОНН1, проводим высоту Н1Т на ОН, ТН1О1О прямоугольник О1О=Н1Т=2*корень3/3, О1Н1=ОТ=5*корень3/6, НТ=ОН-ОТ=7*корень3/6-5*корень3/6=2*корень3/6, треугольник Н1Нт прямоугольный, Н1Н=корень(Н1Т в квадрате+НТ в квадрате)=корень(12/9+12/36)=корень(5/3), площадь боковой=1/2(периметрАВС+преиметрА1В1С1)*Н1Н=1/2*(3*7+3*5)*корень(5/3)=18*корень(5/3)=6*корень15