На сторонах рівностороннього трикутника поза ним побудовані квадрати. Вершини квадратів послідовно сполучені. Знайдіть площу отриманого шестикутника, якщо сторона трикутника дорівнює 2 см.

Для приведенного квадратного уравнения x^2 +px +q =0

Теорема Виета: x1+x2 = -p ; x1x2 =q

Формула корней: x1,2 = -p/2 +-√[(p/2)^2 -q]

--------------------------------------------------------------- -

По теореме котангенсов (p - полупериметр)

ctg(A/2) =(p-a)/r => p =r*ctg(A/2) +a

b+c =2p-a

S =pr =1/2 bc sinA => bc =2pr/sinA

Мы нашли сумму и произведение искомых величин (b, c).

По теореме Виета эти величины являются корнями квадратного уравнения

x^2 -(2p-a)x +2pr/sinA =0  

По формуле корней квадратного уравнения

b,c =p -a/2 +-√[(p -a/2)^2 -2pr/sinA], где p =r*ctg(A/2) +a

Дан равнобедренный ΔABC, AB — основание. ∠A = ∠B.

1-й случай: биссектриса угла при основании (AD), высота из вершины на основание тр-ка (CH). ∠AEH = 75°.

Так как CH — высота, тогда ΔAEH — прямоугольный, ∠AHE = 90° (EH ∈ CH)

∠EAH = 90°−∠AEH = 90°−75° = 15°

∠A = ∠EAH×2 = 15°×2 = 30°

2-й случай: биссектриса угла при основании (AD), высота из противоположного угла при основании тр-ка (BH). ∠AEH = 75°.

Так как BH — высота, тогда ΔAEH — прямоугольный, ∠AHE = 90° (EH ∈ BH)

∠EAH = 90°−∠AEH = 90°−75° = 15°

∠A = ∠EAH×2 = 15°×2 = 30°

3-й случай: биссектриса угла при вершине (CD), высота из угла при основании тр-ка (AH). ∠CEH = 75°.

CD — биссектриса, и высота и медиана, т.к. опущена из вершины на основание равнобедренного тр-ка.

Так как AH — высота, тогда ΔCEH — прямоугольный, ∠CHE = 90° (EH ∈ AH)

∠ECH = 90°−∠CEH = 90°−75° = 15°

∠A = ∠B = 90°−∠ECH = 90°−15° = 75° (т.к. ΔCBD — прямоугольный, ∠CDB = 90°).

ответ: угол при основании данного треугольника может быть равен 15° или 75°.