На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AM, BK и СР, МР перпендикулярно ВС.
а) Найдите угол С и угол СМР.
б) Найдите угол ВКР и докажите, что △MPC = △KBP.
в) Найдите ВР, если ВК = 10.
г) Докажите, что △MPK равносторонний.
КАК решить

Если малость схитрить, то можно выбрать удобный частный случай и решить для него. Например, для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом у вершины B. Тогда три искомые описанные окружности будут иметь диаметры равные длинам сторон этого треугольника: 7 (меньший катет) , 14 (гипотенуза) и 14*корень(3)/2 (больший катет). В сумме диаметры составят 7*(3+корень(3)), а сумма радиусов будет вдвое меньше.

Но это, конечно, фейковое решение основанное на уверенности в том, что условие правильное и задача однозначно решается.

Неожиданно очень простая задача. 

Если на ВН, как на диаметре, построить окружность, то она пройдет через основания высот, опущенных из вершин А и С (на стороны ВС и АВ соответственно, пусть это АА1 и СС1, так вот, эта окружность проходит через А1 и С1). Связано это просто с тем, что треугольники ВНС1 и ВНА1 - прямоугольные.

Эта окружность является описанной для треугольника А1ВС1, и ВН - её диаметр.

Далее, легко видеть, что ВА1 = ВА*√3/2 и ВС1 = ВС*√3/2, поскольку угол АВС = 30 градусов.

Поэтому угол АВС общий у треугольников АВС и А1ВС1, и стороны этого угла в треугольниках пропорциональны, то есть треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС (в частности, А1С1 = АС*√3/2).

Поскольку размеры треугольника АВС в 2/√3 раза больше размеров треугольника А1ВС1, во столько же раз больше и диаметр описанной окружности, то есть

ВН = 4 = (2*R)*√3/2 = R*√3, R = 4*√3/3

Я добавлю замечание, не большое такое.

Треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС при любом угле АВС, а не только - когда он равен 30 градусам.

Пусть угол АВС = Ф.

В общем случае ВС1 = ВС*cos(Ф); BA1 = BA*cos(Ф), то есть угол АВС у треугольников общий, и стороны общего угла пропорциональны. Поэтому тр-ки АВС и А1ВС1 подобны, и коэффициент подобия равен cos(Ф). 

Такой же пропорцией должны быть связаны диаметры описанных окружностей 2*R и ВН.

Получается соотношение, которое по форме почти точно воспроизводит теорему синусов :), только с заменой синуса на косинус.

BH = (2*R)*cos(Ф). 

В данном случае cos(Ф) = √3/2 и ВН = R*√3.