На сторонах треугольника abc построены во внешнюю сторону квадраты с центрами о¹, o² и о³, докажите, что: а) отрезки ао¹ и о²о³ равны и перпендикулярны б) прямые ао¹, во² и со³ пересекаются в одной точке

В равнобедренной трапеции АВСD диагонали взаимно перпендикулярны. Значит треугольники АОD и ВОС прямоугольные и равнобедренные. Высота трапеции равна сумме высот этих треугольников, которые можно найти по свойству высоты из прямого угла к гипотенузе: h=√d*e, где h - высота, а  d и e - отрезки гипотенузы, на которые гипотенуза делится этой высотой. В нашем случае эти отрезки равны, так как треугольники равнобедренные. тогда h1=√(9*9)=9, а h2=√(6*6)=6. Высота трапеции равна H=9+6=15.
Тогда площадь трапеции равна S=(AB+CD)*Н/2=(12+16)*15/2=210.
ответ: Н=210 ед².

У правильной треугольной пирамиды основание - равносторонний треугольник, высота опускается в его центр. Смотри рисунок.
Слева показана сама пирамида, справа ее основание.
Из прямоугольного треугольника SDO ясно, что OD = L*sin α
Но мы знаем, что точка О - центр треугольника - делит высоту в отношении 1 : 2, то есть
CD = 3*OD = 3L*sin α
С другой стороны, мы знаем, что в равностороннем треугольнике
высота CD = a*√3/2, где a = AB = AC = BC - сторона треугольника.
Получаем
a*√3/2 = 3L*sin α
a = 6/√3*L*sin α = 6√3/3*L*sin α = 2√3*L*sin α
Площадь боковой стороны
S(ABS) = S(ACS) = S(BCS) = a*L/2 = 2√3*L*sin α*L/2 = √3*L^2*sin α
Площадь всей боковой поверхности пирамиды
S(бок) = 3*S(ABS) = 3√3*L^2*sin α