На стороне AB остроугольного треугольника ABC выбрана точка Р так, что АР : ВР = 2 : 1. Известно, что АС = СР = 1, угол ВСР =15°. Найдите длину стороны ВС.

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).
В нашем случае это угол ВНК, так как плоскость ВНК перпендикулярна ребру АС двугранного угла.  Тогда
КН=4 (гипотенуза против угла 30°).
ВН=√(КН²-КВ²) = √(16-4) =2√3.
Высота правильного треугольника АВС: ВН=(√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника (формула).
Следовательно, сторона основания пирамиды равна
а = ВН*2/√3 = 2√3*2/√3 = 4 см.

Здесь нужно еще доказать некие факты , то что как будет располагаться квадрат, в зависимости от этого будет и изменятся площадь самого квадрата.   
Если сделать правильный эскиз по нашему условию , то откуда легко видеть то что квадрат будет наибольшим когда он располагается параллельна основанию треугольника а боковые стороны соответственно перпендикулярны стороне.  
Обозначим  сторону катета образованного боковой стороной квадрата относительно ее основанию, за  сторону квадрата , она же сторона отсеченной боковой стороны треугольника (выше большего основания) . 
  Сторона треугольника правильного . 
Тогда  удовлетворяет ему такое условие  
 
  Тогда  площадь маленького подобного большему треугольнику равна    
  , и остались два маленьких прямоугольных треугольника их площади равны в сумме 
  тогда 
откуда получаем систему 

 Откуда периметр квадрата равен 

Нужно это отдельно доказать пользуясь  другими средствами , так как мы опирались на рисунок