На стороне AC треугольника АВС отмечена такая точка K, что периметры треугольников ABK и ВСК отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника ABC, если AB + АК = 30 см.
Дано: ΔАВС, ∠В= 77°, ∠С= 73°, ВМ – высота, ВМ⟂АС, т.О – центр окружности, опис. около ΔАВС, т.О1 – центр окружности, опис. около ΔBMC, R1=OC1= 6 см.
Найти: ОВ.
Решение.
1) Рассмотрим ΔВМС. По условию он прямоугольный (поскольку ВМ⟂АС), а это значит, что диаметр окружности, описанной около этого треугольника, будет равен гипотенузе. Т.е. d=BC, а отрезки ВО1 и О1С являются радиусами.
ВО1=О1С= 6 см.
А диаметр ВС= 2•ВО1= 2•6= 12 см.
2) Найдем ∠А.
Сумма углов треугольника равна 180°, значит, в ΔАВС:
∠А= 180°–∠В–∠С= 180°–77°–73°= 30°.
3) ∠А=30° => данный угол является вписанным в окружность с центром О.
А ∠ВОС — центральный угол окружности с центром О. При чем углы ∠А и ∠ВОС опираются на одну и ту же дугу.
4) Вспоминаем свойство: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Значит, ∠А= ½∠ВОС => ∠ВОС= 2∠А.
∠ВОС= 2•30°= 60°.
5) Центральный угол ВОС равен 60°. Треугольник ВОС равнобедренный, ОВ=ОС (радиусы), угол при вершине 60° => ΔВОС равносторонний.
Поскольку ВОС – равносторонний треугольник, то ОВ=ОС=ВС= 12 см.
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 12 см.
длина окружности , описанной вокруг треугольника, находится по формуле 2πR .
Радиус окружности , описанной вокруг треугольника, можно найти из формулы нахождения площади треугольника: АВС/4R.
Площадь треугольника можно найти с формулы Герона.
Для этого нужен полупериметр: (4+5+7)/2 = 16/2 = 8
1) площадь треугольника: √8*(8-4)*(8-5)*(8-7) = √8*4*3 = √2³*2²*3 = √2⁴*2*3 = 4√6 см²
2) Радиус окружности: 4*5*7/4х = 4√6 ⇒⇒⇒ 35/х = 4√6 ⇒⇒⇒ х = 35/4√6 см
3) длина окружности: 2 * 35/4√6 * π = 35π/2√6 = 35*√6*π/12 см.
Дано: ΔАВС, ∠В= 77°, ∠С= 73°, ВМ – высота, ВМ⟂АС, т.О – центр окружности, опис. около ΔАВС, т.О1 – центр окружности, опис. около ΔBMC, R1=OC1= 6 см.
Найти: ОВ.
Решение.
1) Рассмотрим ΔВМС. По условию он прямоугольный (поскольку ВМ⟂АС), а это значит, что диаметр окружности, описанной около этого треугольника, будет равен гипотенузе. Т.е. d=BC, а отрезки ВО1 и О1С являются радиусами.
ВО1=О1С= 6 см.
А диаметр ВС= 2•ВО1= 2•6= 12 см.
2) Найдем ∠А.
Сумма углов треугольника равна 180°, значит, в ΔАВС:
∠А= 180°–∠В–∠С= 180°–77°–73°= 30°.
3) ∠А=30° => данный угол является вписанным в окружность с центром О.
А ∠ВОС — центральный угол окружности с центром О. При чем углы ∠А и ∠ВОС опираются на одну и ту же дугу.
4) Вспоминаем свойство: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Значит, ∠А= ½∠ВОС => ∠ВОС= 2∠А.
∠ВОС= 2•30°= 60°.
5) Центральный угол ВОС равен 60°. Треугольник ВОС равнобедренный, ОВ=ОС (радиусы), угол при вершине 60° => ΔВОС равносторонний.
Поскольку ВОС – равносторонний треугольник, то ОВ=ОС=ВС= 12 см.
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 12 см.
ответ: 12 см.