Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
1). Построим описанную окружность с центром в т. М Угол ∠АМС - центральный, опирающийся на ту же дугу АС, что и угол ∠АВС. Следовательно: ∠АМС = 2*∠АВС = 2*15 = 30°
В ΔМНС: CH = MC*sin30° = MC/2
Так как АВ = 2*МС, то: СН:АВ = МС/2 : 2MC = 1/4 CH:AB = 1:4
2). В ΔАВС: cos∠ABC = BC/AB = BC/2MC => => BC = 2MC*cos15°
Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
Р=2π+12π+2•6√3=14π+12√3
Угол ∠АМС - центральный, опирающийся на ту же дугу АС,
что и угол ∠АВС.
Следовательно: ∠АМС = 2*∠АВС = 2*15 = 30°
В ΔМНС: CH = MC*sin30° = MC/2
Так как АВ = 2*МС, то: СН:АВ = МС/2 : 2MC = 1/4
CH:AB = 1:4
2). В ΔАВС: cos∠ABC = BC/AB = BC/2MC =>
=> BC = 2MC*cos15°
В ΔМНС: МН = МС*cos30° = MC*√3/2
Тогда: