Если а и b - стороны прямоугольника, то S = ab P = 2(a + b)
1. Дано: a = 19b, S = 76 см² Найти: Р Решение: S = ab 76 = 19b · b 19b² = 76 b² = 4 b = 2 см a = 2 · 19 = 38 см P = 2(a + b) = 2·(2 + 38) = 2 · 40 = 80 см
2. Дано: a = b + 4, P = 44 см Найти: S Решение: P = 2(a+ b) 2·(b + 4 + b) = 44 2b + 4 = 22 2b = 18 b = 9 см а = 9 + 4 = 13 см S = ab = 9 · 13 = 117 см²
3. Дано: a : b = 5 : 2, P = 56 см Найти: S Решение: a = 5b/2 P = 2(a + b) 2(5b/2 + b) = 56 7b/2 = 28 b = 28 · 2/7 = 8 см а = 5 · 8 /2 = 20 см S = ab = 8 · 20 = 160 см²
4. Дано: a : b = 7 : 2, S = 56 см² Найти: Р Решение: a = 7b/2 S = ab 7b/2 · b = 56 7b²/2 = 56 b² = 56 · 2/7 b² = 16 b = 4 см а = 7 · 4 / 2 = 14 см Р = 2(a + b) = 2(4 + 14) = 36 см
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (прямоугольный, так как угол BAD в прямоугольнике АВСD равен 90°), тогда по теореме Пифагора:
BD^2 = BA^2 + AD^2
BD^2 = 9 + 4
BD = v13 (корень из 13);
ответ: BD = корень из 13.
•Задача 2 (б)
1. EF = FH, треугольник FHG - равнобедренный (так как по условию угол HFG = углу FHG), прямоугольный (так как угол FHG = 90°), следовательно FH=HG=EF=2;
2. Рассмотрим треугольник FHG - прямоугольный, по теореме Пифагора:
2. AD - высота, но так как треугольник ABC - равносторонний, AD - медиана, высота, биссектриса (по свойству равносторонних треугольников, проведённая в нем высота также является медианой и биссектрисой), тогда, как медиана, AD делит BC на равные части BD = DC = BC/2 = 1,5см;
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (так как угол ADB = 90°), по теореме Пифагора:
1. Диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам, тогда LO=ON=LN/2=1,5см, KO=OM=KM/2=1см;
2. Рассмотрим треугольник LOK - прямоугольный (так как в точке пересечения диагонали перпендикулярны относительно друг друга, следовательно угол LOK = 90°), по теореме Пифагора:
LK^2=LO^2 + KO^2 LK^2=2,25+1 LK≈1,8см;
ответ: LK≈1,8см.
•Задача 5 (д)
1. Треугольник PQR - прямоугольный, по теореме Пифагора:
S = ab
P = 2(a + b)
1. Дано:
a = 19b, S = 76 см²
Найти: Р
Решение:
S = ab
76 = 19b · b
19b² = 76
b² = 4
b = 2 см
a = 2 · 19 = 38 см
P = 2(a + b) = 2·(2 + 38) = 2 · 40 = 80 см
2. Дано: a = b + 4, P = 44 см
Найти: S
Решение:
P = 2(a+ b)
2·(b + 4 + b) = 44
2b + 4 = 22
2b = 18
b = 9 см
а = 9 + 4 = 13 см
S = ab = 9 · 13 = 117 см²
3. Дано: a : b = 5 : 2, P = 56 см
Найти: S
Решение:
a = 5b/2
P = 2(a + b)
2(5b/2 + b) = 56
7b/2 = 28
b = 28 · 2/7 = 8 см
а = 5 · 8 /2 = 20 см
S = ab = 8 · 20 = 160 см²
4. Дано: a : b = 7 : 2, S = 56 см²
Найти: Р
Решение:
a = 7b/2
S = ab
7b/2 · b = 56
7b²/2 = 56
b² = 56 · 2/7
b² = 16
b = 4 см
а = 7 · 4 / 2 = 14 см
Р = 2(a + b) = 2(4 + 14) = 36 см
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (прямоугольный, так как угол BAD в прямоугольнике АВСD равен 90°), тогда по теореме Пифагора:
BD^2 = BA^2 + AD^2
BD^2 = 9 + 4
BD = v13 (корень из 13);
ответ: BD = корень из 13.
•Задача 2 (б)
1. EF = FH, треугольник FHG - равнобедренный (так как по условию угол HFG = углу FHG), прямоугольный (так как угол FHG = 90°), следовательно FH=HG=EF=2;
2. Рассмотрим треугольник FHG - прямоугольный, по теореме Пифагора:
FH^2 + HG^2 = FG^2
4 + 4 = FG^2
FG = 2v2 (2 корня из 2);
ответ: FG = 2 корня из 2.
•Задача 3 (в)
1. Треугольник ABC - равносторонний (AB=BC=AC=3);
2. AD - высота, но так как треугольник ABC - равносторонний, AD - медиана, высота, биссектриса (по свойству равносторонних треугольников, проведённая в нем высота также является медианой и биссектрисой), тогда, как медиана, AD делит BC на равные части BD = DC = BC/2 = 1,5см;
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (так как угол ADB = 90°), по теореме Пифагора:
AD^2 = AB^2 - BD^2
AD^2 = 9 - 2,25
AD^2 = 6,75
AD ≈ 2,6см
ответ: AD≈2,6см.
•Задача 4 (г)
1. Диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам, тогда LO=ON=LN/2=1,5см, KO=OM=KM/2=1см;
2. Рассмотрим треугольник LOK - прямоугольный (так как в точке пересечения диагонали перпендикулярны относительно друг друга, следовательно угол LOK = 90°), по теореме Пифагора:
LK^2=LO^2 + KO^2
LK^2=2,25+1
LK≈1,8см;
ответ: LK≈1,8см.
•Задача 5 (д)
1. Треугольник PQR - прямоугольный, по теореме Пифагора:
PR^2 = QP^2 + QR^2
PR^2 = 16 + 4
PR = 2v5 (2 корня из 5);
2. По условию PO = OR = PR/2 = v5 (корень из 5);
3. По теореме медиана QO равна подвиге гипотенузы, тогда PO = QO = корень из 5;
ответ: QO = корень из 5.
•Задача 6 (е)
1. Треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, по свойствам равнобедренного треугольника, BH - медиана, биссектриса, высота;
2. Как медиана BH делит основание AC пополам: AH = HC = AC/2 = 2см;
3. Как высота BH образует прямой угол BHC, следовательно треугольник BHC - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:
BH^2 = BC^2 - HC^2
BH^2 = 25 - 4
BH = v2
ответ: BH = корень из 2.
•Задача 7 (ж)
1. Треугольники EHG и FHG - прямоугольные, рассмотрим треугольник EHG, по теореме Пифагора:
EH^2 = EG^2 - HG^2
EH^2 = 4-1
EH=v3 (корень из 3)
2. Рассмотрим также прямоугольный треугольник FHG, по т. Пифагора:
HF^2 = FG^2 - HG^2
HF^2 = 25-1
HF= 2v6;
3. EF = HF + EH = v3+2v6;
ответ: EF = v3+2v6.