Треугольник в основании пирамиды - прямоугольный. Это следует из соотношения квадратов его сторон по Пифагору: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, 10² = 100. Если все боковые рёбра равны, то ось пирамиды вертикальна и проходит через середину гипотенузы основания пирамиды. Это вытекает из равенства проекций боковых рёбер пирамиды на её основание. Точка в прямоугольном треугольнике, равноудалённая от его вершин, находится в середине гипотенузы. Отсюда находим высоту пирамиды: Н = √(13² - (10/2)²) = √(169 - 25) = √144 = 12.
ДАНО: плоскость АВС ; угол ACB = 90° ; AD перпендикулярен ( АВС ) ; ABC = 30° ; AB = 6 см ; DC = 2√3 см.
НАЙТИ: угол между ( АВС ) и ( DBC ) _______________________________
РЕШЕНИЕ:
Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно найти линейный угол двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на прямой а ( ребре ), лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны прямой а ( ребру )
1) АD перпендикулярен ( АВС )
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости =>
AD перпендикулярен АС, АВ, ВС
2) AD перпендикулярен АС АС перпендикулярен ВС
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах CD перпендикулярен ВС
Следовательно, угол АСD - линейный угол двугранного угла АВСD, то есть угол ACD - искомый угол между плоскостями АВС и DBC
3) Рассмотрим ∆ АВС ( угол АСВ = 90° ):
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Это следует из соотношения квадратов его сторон по Пифагору:
6² + 8² = 36 + 64 = 100,
10² = 100.
Если все боковые рёбра равны, то ось пирамиды вертикальна и проходит через середину гипотенузы основания пирамиды.
Это вытекает из равенства проекций боковых рёбер пирамиды на её основание. Точка в прямоугольном треугольнике, равноудалённая от его вершин, находится в середине гипотенузы.
Отсюда находим высоту пирамиды:
Н = √(13² - (10/2)²) = √(169 - 25) = √144 = 12.
НАЙТИ: угол между ( АВС ) и ( DBC )
_______________________________
РЕШЕНИЕ:
Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно найти линейный угол двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на прямой а ( ребре ), лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны прямой а ( ребру )
1) АD перпендикулярен ( АВС )
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости =>
AD перпендикулярен АС, АВ, ВС
2) AD перпендикулярен АС
АС перпендикулярен ВС
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах
CD перпендикулярен ВС
Следовательно, угол АСD - линейный угол двугранного угла АВСD, то есть угол ACD - искомый угол между плоскостями АВС и DBC
3) Рассмотрим ∆ АВС ( угол АСВ = 90° ):
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
АС = 1/2 × АВ = 1/2 × 6 = 3 см
2) Рассмотрим ∆ АСD ( угол CAD = 90° ):
cos ACD = AC / DC =
Значит, угол ACD = 30°
ОТВЕТ: угол между ( АВС ) и ( DBC ) = 30°