Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) а ( 1; -4), в (4; 5), с (3; -2); б) а (3; -7), в (8; -2), с (6; 2).

Показать ответ

Ответ:

ronlimjy

15.09.2020 11:49

Уравнение окружности имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

, где (a; b) - центр окружности, r - ее радиус

а)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$\begin{cases} (1-a)^2+(-4-b)^2=r^2 \\ (4-a)^2+(5-b)^2=r^2 \\ (3-a)^2+(-2-b)^2=r^2 \right \end{cases}$
Правые части равны, значит равны и левые части. Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(1-a)^2+(-4-b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2
\\\
(1-a)^2+(4+b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2
\\\
1-2a+a^2+16+8b+b^2=16-8a+a^2+25-10b+b^2
\\\
1-2a+8b=-8a+25-10b
\\\
6a+18b-24=0
\\\
a+3b-4=0
\\\
\Rightarrow a=4-3b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(-2-b)^2
\\\
(4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(2+b)^2
\\\
16-8a+a^2+25-10b+b^2=9-6a+a^2+4+4b+b^2
\\\
16-8a+25-10b=9-6a+4+4b
\\\
2a+14b-28=0
\\\
a+7b-14=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$4-3b+7b-14=0 \\\ 4b=10 \\\ \Rightarrow b=2.5 \\\ \Rightarrow a=4-3\cdot2.5=-3.5 \\\ \Rightarrow r^2=(4-(-3.5))^2+(5-2.5)^2=56.25+6.25=62.5$
Искомое уравнение окружности: (x+3.5)^2+(y-2.5)^2=62.5

б)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$\begin{cases} (3-a)^2+(-7-b)^2=r^2 \\ (8-a)^2+(-2-b)^2=r^2 \\ (6-a)^2+(2-b)^2=r^2 \right \end{cases}$
Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(3-a)^2+(-7-b)^2= (8-a)^2+(-2-b)^2
\\\
(3-a)^2+(7+b)^2= (8-a)^2+(2+b)^2
\\\
9-6a+a^2+49+14b+b^2=64-16a+a^2+4+4b+b^2
\\\
9-6a+49+14b=64-16a+4+4b
\\\
10a+10b-10=0
\\\
a+b-1=0
\\\
\Rightarrow a=1-b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(8-a)^2+(-2-b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 \\\ (8-a)^2+(2+b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 \\\ 64-16a+a^2+4+4b+b^2=36-12a+a^2+4-4b+b^2 \\\ 64-16a+4b=36-12a-4b
\\\
4a-8b-28=0
\\\
a-2b-7=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$1-b-2b-7=0 \\\ 3b=-6 \\\ \Rightarrow b=-2 \\\ \Rightarrow a=1-(-2)=3 \\\ \Rightarrow r^2=(6-3)^2+(2-(-2))^2=9+16=25$
Искомое уравнение окружности: (x-3)^2+(y+2)^2=25