Построение сечения: Назовем искомую плоскость MNK . Плоскости ABC и A1B1C1 параллельны и пересечены плоскостью , следовательно, линии пересечения параллельны. Значит, пересекает А1В1С1 по прямой КF, параллельной MN. Значит, F - середина А1В1. Осталось соединить KF, FM, MN, NK. Искомое сечение - FKNM.
Доказательство: В треугольнике ABD MN-средняя линия, MN || BD. Т.к MN лежит в плоскости сечения MNK, а BD параллельна прямой MN, лежащей в плоскости сечения, ВD параллельна плоскости MNK, что и требовалось доказать.
Пусть данный треугольник ABC, в нем опущены высоты AK и BN, ортоцентр - O. Нарисуем точку, симметричную O относительно BC: продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L. Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный пусть ∠obk = a Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана => ∠kbl = ∠obk = a из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn ∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a ∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc. оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично
Построение сечения: Назовем искомую плоскость MNK
. Плоскости ABC и A1B1C1 параллельны и пересечены плоскостью 
, следовательно, линии пересечения параллельны. Значит, 
пересекает А1В1С1 по прямой КF, параллельной MN. Значит, F - середина А1В1. Осталось соединить KF, FM, MN, NK. Искомое сечение - FKNM.
Доказательство: В треугольнике ABD MN-средняя линия, MN || BD. Т.к MN лежит в плоскости сечения MNK, а BD параллельна прямой MN, лежащей в плоскости сечения, ВD параллельна плоскости MNK, что и требовалось доказать.
Нарисуем точку, симметричную O относительно BC:
продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L.
Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный
пусть ∠obk = a
Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана =>
∠kbl = ∠obk = a
из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn
из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn
∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a
∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc.
оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично