При симметрии относительно прямой g фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1. При этом AO=A1O, BO1=B1O1и прямая g перпендикулярна отрезкам AA1 и BB1.
Проведём отрезки AO1 и A1O1.
Прямоугольные треугольники AOO1 и A1OO1 равны по двум катетам, следовательно, AO1=A1O1 и ∠OAO1=∠OA1O1.
Прямые AA1 и BB1 параллельны по признаку параллельности прямых (как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой g).
∠BO1A=∠OAO1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей AO1)
Из теоремы (сумма смежныхьуглов равна 180°) следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны. Допустим, углы (a1b) и (c1d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a2b) и (c2d) тоже равны. Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a1b + a2b = 180° и c1d + c2d = 180°. Отсюда, a2b = 180° - a1b и c2d = 180° - c1d. Так как углы (a1b) и (c1d) равны, то мы получаем, что a2b = 180° - a1b = c2d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a2b = c2d. Что и требовалось доказать.
Пусть A и B — две произвольные точки фигуры F.
При симметрии относительно прямой g фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1. При этом AO=A1O, BO1=B1O1и прямая g перпендикулярна отрезкам AA1 и BB1.
Проведём отрезки AO1 и A1O1.
Прямоугольные треугольники AOO1 и A1OO1 равны по двум катетам, следовательно, AO1=A1O1 и ∠OAO1=∠OA1O1.
Прямые AA1 и BB1 параллельны по признаку параллельности прямых (как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой g).
∠BO1A=∠OAO1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей AO1)
Допустим, углы (a1b) и (c1d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a2b) и (c2d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a1b + a2b = 180° и c1d + c2d = 180°. Отсюда, a2b = 180° - a1b и c2d = 180° - c1d. Так как углы (a1b) и (c1d) равны, то мы получаем, что a2b = 180° - a1b = c2d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a2b = c2d. Что и требовалось доказать.